Fibonacci (Leonardo din Pisa) — biografie și șirul lui Fibonacci

Leonardo din Pisa, cunoscut azi ca Fibonacci (c. 1170 – c. 1250), a fost cel mai important matematician european al Evului Mediu. Prin cartea Liber Abaci a convins Europa să renunțe la cifrele romane în favoarea cifrelor 0–9, iar șirul care îi poartă numele este un exemplu clasic de șir definit prin recurență.

Viața

Leonardo s-a născut la Pisa în jurul anului 1170. Tatăl său, Guglielmo, reprezenta negustorii pisani la vama din Bugia (azi Béjaïa, în Algeria), unde l-a adus și pe fiul său. Acolo, tânărul Leonardo a învățat de la profesori arabi calculul cu cifrele indiene și a fost atât de impresionat de eficiența lui încât, în călătoriile de afaceri prin Egipt, Siria, Grecia, Sicilia și Provence, a studiat toate metodele de calcul pe care le-a întâlnit.

Întors la Pisa, a publicat în 1202 Liber Abaci („Cartea calculului”), revizuită în 1228, apoi Practica geometriae (1220) și Liber quadratorum („Cartea pătratelor”, 1225). Faima lui a ajuns la curtea împăratului Frederic al II-lea, unde matematicianul Johannes din Palermo i-a propus probleme dificile, pe care Leonardo le-a rezolvat. În jurul anului 1240, orașul Pisa i-a acordat o rentă anuală pentru serviciile aduse ca expert în calcule. Data morții nu este cunoscută; se presupune că a murit după 1240.

Contribuții în matematică

Cifrele indo-arabe în Europa

Liber Abaci începe cu cele nouă cifre indiene și „semnul 0, numit de arabi zephirum” și arată, pe sute de exemple, cum se fac adunări, înmulțiri și împărțiri în scris. Restul cărții este un manual pentru negustori: conversii de monede și măsuri, dobânzi, împărțirea profitului între asociați, regula de trei simplă. Sistemul era deja descris în lucrarea lui al-Khwarizmi, dar Fibonacci l-a făcut cunoscut în Europa creștină.

Problema iepurilor și șirul lui Fibonacci

Una dintre problemele cărții întreabă câte perechi de iepuri vor exista după un an, dacă fiecare pereche dă naștere lunar unei noi perechi, iar perechile noi devin fertile după o lună. Numărul de perechi crește după regula „fiecare termen este suma celor doi dinaintea lui”:

\[ F_1 = F_2 = 1, \qquad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n, \]

adică 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … În tabelul lui Fibonacci, la sfârșitul anului se ajunge la 377 de perechi. Mult mai târziu s-a observat că rapoartele termenilor consecutivi se apropie de numărul de aur:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618. \]

Liber quadratorum

În „Cartea pătratelor”, Fibonacci studiază numerele pătrate și pornește de la observația că pătratele se obțin adunând numere impare consecutive:

\[ 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2. \]

Cu astfel de idei a rezolvat probleme dificile de teoria numerelor, de exemplu găsirea unui pătrat perfect care rămâne pătrat perfect și atunci când îi aduni sau îi scazi 5. Pentru o ecuație de gradul 3 propusă la curtea lui Frederic al II-lea, a arătat că soluția nu poate fi exprimată cu tipurile de radicali cunoscute de la Euclid și a calculat-o aproximativ, cu o precizie remarcabilă.

Unde îl întâlnești la școală

  • Clasele IX–XI: șiruri — șirul lui Fibonacci este exemplul standard de șir definit prin recurență și de demonstrație prin inducție.
  • Clasa a IX-a: progresia aritmetică, la care suma primelor n numere impare dă exact \( n^2 \).
  • Clasa a XI-a: limite — limita raportului \( F_{n+1}/F_n \).
  • Gimnaziu: procente și regula de trei simplă, adică exact matematica negustorilor descrisă în Liber Abaci.

Curiozități

  • Numele „Fibonacci” vine de la „filius Bonacci” („fiul lui Bonacci”) și s-a răspândit abia în secolul al XIX-lea; el semna „Leonardo Pisano”.
  • Numărul spiralelor din floarea-soarelui sau din conurile de pin este adesea un număr Fibonacci, de exemplu 34 și 55.
  • Din 1963 există o revistă de cercetare dedicată în întregime acestor numere, The Fibonacci Quarterly.

Întrebări frecvente

Ce este șirul lui Fibonacci? Este șirul 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … în care fiecare termen, începând cu al treilea, este suma celor doi termeni dinaintea lui.

Ce legătură are șirul lui Fibonacci cu numărul de aur? Raportul dintre doi termeni consecutivi se apropie tot mai mult de numărul de aur, (1 + √5)/2 ≈ 1,618, atunci când indicii cresc.

Ce a scris Fibonacci în Liber Abaci? A explicat calculul cu cifrele indo-arabe și sistemul zecimal de poziție și a arătat cum se aplică în comerț, la dobânzi, conversii și probleme practice, printre care și problema iepurilor.

Vezi și: Leonhard Euler, Traian Lalescu · toți matematicienii


Sursa: wikipedia.org