Fișă de lucru teoremele Fermat, Rolle, Lagrange și regula lui l'Hôpital — 18 exerciții

Fișă de lucru cu 18 exerciții pentru clasa a 11-a despre teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange (programa M1) și calculul limitelor cu regula lui l'Hôpital în cazurile \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(0\cdot\infty\) și \(0^0\). La fiecare teoremă verifică întâi ipotezele. Răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — teoremele Fermat, Rolle, Lagrange și regula lui l'Hôpital, clasa a 11-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Exercițiile marcate (M1) — teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange — sunt specifice programei M1 (mate-info).

I. Nivel ușor

  1. (M1) Verifică ipotezele teoremei lui Rolle pentru \(f:[1,3]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-4x+3\), și determină punctul \(c\) din concluzie.
  2. (M1) Determină punctul \(c\) din teorema lui Lagrange pentru \(f:[1,3]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2\).
  3. (M1) Funcția \(f(x)=x^2+ax\) are un punct de extrem în \(x_0=1\). Folosind teorema lui Fermat, determină \(a\).
  4. Calculează \(\lim\limits_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}\).
  5. Calculează \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x}\).
  6. Calculează \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}\).

II. Nivel mediu

  1. (M1) Determină punctul \(c\) din teorema lui Rolle pentru \(f:[0,1]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3-x\).
  2. (M1) Determină punctul \(c\) din teorema lui Lagrange pentru \(f:[1,e]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\ln x\).
  3. (M1) Determină punctul \(c\) din teorema lui Lagrange pentru \(f:[0,2]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3\).
  4. Calculează \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\).
  5. Calculează \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\).
  6. Calculează \(\lim\limits_{x\searrow 0}x\ln x\).

III. Nivel greu

  1. Calculează \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\).
  2. Calculează \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\).
  3. Calculează \(\lim\limits_{x\searrow 0}x^x\).
  4. (M1) Aplicând teorema lui Rolle funcției \(p(x)=x^4+x^3-x^2-x\) pe \([0,1]\), arată că ecuația \(4x^3+3x^2-2x-1=0\) are cel puțin o soluție în \((0,1)\).
  5. (M1) Aplicând teorema lui Lagrange funcției \(f(x)=\ln x\) pe \([a,b]\), \(0\lt a\lt b\), arată că \(\frac{b-a}{b}\lt\ln\frac{b}{a}\lt\frac{b-a}{a}\).
  6. (M1) Arată că funcția \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\operatorname{arctg}x+\operatorname{arctg}\frac{1}{x}\), este constantă și determină constanta.
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(f\) polinomială (continuă, derivabilă), \(f(1)=f(3)=0\); \(f'(c)=2c-4=0\Rightarrow c=2\)
  2. \(\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=4=2c\Rightarrow c=2\)
  3. \(f'(1)=2+a=0\Rightarrow a=-2\)
  4. 1 (cazul \(\frac{0}{0}\): \(\lim\limits_{x\to 1}\frac{1/x}{1}\))
  5. 2 (\(\lim\limits_{x\to 0}2e^{2x}\))
  6. 0 (de două ori l'Hôpital: \(\lim\frac{2x}{e^x}=\lim\frac{2}{e^x}=0\))
  7. \(f(0)=f(1)=0\); \(3c^2-1=0\Rightarrow c=\frac{\sqrt{3}}{3}\in(0,1)\)
  8. \(\frac{1-0}{e-1}=\frac{1}{c}\Rightarrow c=e-1\in(1,e)\)
  9. \(\frac{8-0}{2}=4=3c^2\Rightarrow c=\frac{2\sqrt{3}}{3}\in(0,2)\)
  10. \(\frac{1}{2}\) (\(\lim\frac{\sin x}{2x}\))
  11. 0 (\(\lim\frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})}=\lim\frac{2}{\sqrt{x}}\))
  12. 0 (\(\lim\frac{\ln x}{1/x}=\lim\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim(-x)\))
  13. \(\frac{1}{6}\) (\(\lim\frac{1-\cos x}{3x^2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\))
  14. \(\frac{1}{2}\) (\(\lim\frac{e^x-1}{2x}=\frac{1}{2}\))
  15. 1 (\(x^x=e^{x\ln x}\) și \(x\ln x\to 0\))
  16. \(p(0)=p(1)=0\) și \(p'(x)=4x^3+3x^2-2x-1\); există \(c\in(0,1)\) cu \(p'(c)=0\)
  17. \(\ln b-\ln a=\frac{b-a}{c}\) cu \(a\lt c\lt b\), iar \(\frac{1}{b}\lt\frac{1}{c}\lt\frac{1}{a}\)
  18. \(f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}=0\), deci \(f\) este constantă (consecința teoremei lui Lagrange); \(f(x)=f(1)=\frac{\pi}{2}\)

Teorie: Teoremele Fermat, Rolle, Lagrange — teorie · Limite remarcabile · Calculator limite · Formule clasa a 11-a · Alte fișe: toate fișele de lucru