Limite de funcții la Bacalaureat — subiecte rezolvate (M1, M2, M3)

La Bacalaureatul de matematică, limitele de funcții apar la Subiectul al III-lea, problema 1, de obicei la cerința b), după calculul derivatei: o limită la $+\mathrm{\infty }$, o limită într-un punct (cazul $\frac{0}{0}$) sau o limită care conține derivata funcției. Aici găsești toate cele 19 de cerințe cu limite din variantele oficiale rezolvate pe site (2020–2027) — 6 la M1 (mate-info), 8 la M2 (științele naturii), 5 la M3 (tehnologic) —, cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas.

M1 (mate-info)M2 (științele naturii)M3 (tehnologic)

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

• Limite remarcabile: ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1}$, ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=1}$, ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1}$ — limite de funcții și limite remarcabile.
• Limita la $\pm \mathrm{\infty }$ a unui raport de polinoame: se dă factor forțat puterea cea mai mare a lui $x$; dacă gradele sunt egale, limita este raportul coeficienților dominanți.
• Regula lui l’Hôpital: în cazurile $\frac{0}{0}$ și $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$, dacă ultima limită există.
• Limita cu derivata: ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)}$ — definiția derivatei, folosită des la cerința b).

Poți verifica rezultatele cu calculatorul de limite și exersa pe fișa cu limite de funcții.

Tipuri de cerințe

Tip de cerință	Nr.	Unde apare (link direct la rezolvare)
Limite cu derivata funcției	3	M1 2024 aug. b), M3 2023 iun. c), M3 2022 aug. c)
Limite la $\pm \mathrm{\infty }$	7	M2 2025 sim. b), M3 2024 sim. b), M1 2023 aug. b), M2 2022 aug. b), M2 2022 iun. b), M2 2021 iun. b), M2 2020 iun. b)
Limite într-un punct (cazuri $\frac{0}{0}$)	9	M3 model 2027 b), M1 2026 aug. b), M2 2026 iun. b), M2 2026 sim. b), M1 2026 sim. b), M2 2025 aug. b), M3 2025 sim. b), M1 2024 iun. b), M1 2020 aug. c)

Enunțurile de mai jos sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate de la cele mai noi la cele mai vechi. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea completă.

Bac M1 (mate-info)

Bac 2026 M1 — sesiunea august–septembrie — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)$​$=2x^2-4x-3-(2x-3)e^{2x}$.

b) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^2}}$​$=4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M1 — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:(1,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)$​$={\displaystyle \frac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}}$.

b) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}(f(x){)}^{\frac{1}{x-2}}}$​$=\sqrt{e}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea august–septembrie — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)$​$=(x^2-2)e^{2x}$.

b) Calculați ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M1 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)$​$=e^x(2x-4)+x^2-2x+4$.

b) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{1-e^x}}$​$=4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea august–septembrie — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)$​$={\displaystyle \frac{3e^x}{x^2+x+1}}$.

b) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(2x)}{f(x)}}$​$=+\mathrm{\infty }$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea august–septembrie — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\mathrm{\infty })$, $f(x)=6^x-3^x+2^x$.

c) Calculați ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (f(x))}{x}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M2 (științele naturii)

Bac 2026 M2 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x(2x^2-3x)$.

b) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}=2}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M2 — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}-1+4\ln (x+3)$.

b) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{4\ln (x+3)-f(x)}{\ln x}=1}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M2 — sesiunea august–septembrie — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x-1+\ln x$.

b) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)+3x}{\ln x}=3}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M2 — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x^2+3x+3}}$.

b) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea august–septembrie — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2+x+3-5\ln x$.

b) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)+5\ln x}{3-x-x^2}=-2}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M2 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2+1+\ln x$.

b) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)-\ln x}{x^2+x+4}=2}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:(-2,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (x+2)$.

b) Calculați ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+4x-f(x)}{x}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M2 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:(1,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2\sqrt{x^2-1}$.

b) Calculați ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-f(x)}{x}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M3 (tehnologic)

Model Bac 2027 M3 (oficial) — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(3-2x)e^x-3$.

b) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{x+x^2}{f(x)}}$​$=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M3 — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-2-\ln x$.

b) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)+\ln x}{3x-3}=\frac{4}{3}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M3 — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:(2,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x^2-3}}$.

b) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{xf(x)}{e^x}=0}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M3 — sesiunea iunie–iulie — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+6x^2-15x+9$.

c) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{e^x{f}^{″}(x)}=0}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M3 — sesiunea august–septembrie — Subiectul III.1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-9x^2+3$.

c) Arătați că ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(1)}{3f(x)-x{f}^{\prime }(x)}=\frac{2}{3}}$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Alte capitole de Bac: Integrale (III.2) · Derivate (III.1) · Matrice și determinanți (II.1) · Numere complexe.

Întrebări frecvente

Unde apar limitele de funcții la Bacalaureat? La Subiectul al III-lea, problema 1 (studiul funcțiilor), de regulă la cerința b), uneori și la c). Se cere o limită la plus infinit, o limită într-un punct sau o limită în care apare derivata funcției, calculată la cerința a).

Pot folosi regula lui l’Hôpital la Bac? Da. Regula lui l’Hôpital face parte din programă și se poate folosi în cazurile 0/0 și ∞/∞, cu condiția să verifici că funcțiile sunt derivabile și că ești într-un caz de nedeterminare.

Cum calculez o limită care conține f′(x)? Înlocuiești derivata calculată la cerința a), simplifici expresia și apoi calculezi limita: de obicei la plus infinit, dând factor forțat puterea cea mai mare a lui x, sau într-un punct, cu limitele remarcabile.

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate · Formule Bac M1 și M2

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / CNPEE, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările: Matepenet.ro.