Fișă de lucru continuitate și asimptote clasa a 11-a — 17 exerciții cu răspunsuri
Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 11-a despre continuitatea funcțiilor (limite laterale, funcții definite cu acoladă, parametri, proprietatea lui Darboux) și asimptotele graficului unei funcții: verticale, orizontale și oblice. Răspunsurile sunt la final.
Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________
Fișă de lucru — continuitate și asimptote, clasa a 11-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț.
I. Nivel ușor
- Studiază continuitatea în \(x_0=1\) a funcției \(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\le 1\\3x-1,&x\gt 1\end{cases}\).
- Studiază continuitatea în \(x_0=2\) a funcției \(f(x)=\begin{cases}x^2,&x\lt 2\\x+3,&x\ge 2\end{cases}\).
- Determină asimptotele graficului funcției \(f:\mathbb{R}\setminus\{3\}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{2x+1}{x-3}\).
- Adevărat sau fals: a) funcțiile elementare sunt continue pe domeniul lor de definiție; b) graficul unei funcții polinomiale poate avea asimptote verticale; c) graficul funcției \(f(x)=e^x\) are asimptota orizontală \(y=0\) spre \(-\infty\).
- Determină asimptota verticală a graficului funcției \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\ln x\).
- Determină \(a\in\mathbb{R}\) pentru care funcția \(f(x)=\begin{cases}ax+1,&x\le 2\\x^2-1,&x\gt 2\end{cases}\) este continuă pe \(\mathbb{R}\).
II. Nivel mediu
- Determină \(a\in\mathbb{R}\) pentru care funcția \(f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}{x},&x\ne 0\\a,&x=0\end{cases}\) este continuă în 0.
- Determină \(m\in\mathbb{R}\) pentru care funcția \(f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-4}{x-2},&x\ne 2\\m,&x=2\end{cases}\) este continuă pe \(\mathbb{R}\).
- Determină asimptotele graficului funcției \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\), \(x\ne 1\).
- Determină asimptotele graficului funcției \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-4}\), \(x\ne\pm 2\).
- Arată că ecuația \(x^3+x-1=0\) are cel puțin o soluție în intervalul \((0,1)\).
- Determină asimptotele oblice ale graficului funcției \(f(x)=\sqrt{x^2+1}\).
III. Nivel greu
- Determină \(a,b\in\mathbb{R}\) pentru care funcția \(f(x)=\begin{cases}x+a,&x\lt 0\\x^2+x+1,&0\le x\le 1\\bx-1,&x\gt 1\end{cases}\) este continuă pe \(\mathbb{R}\).
- Determină \(a\in\mathbb{R}\) pentru care dreapta \(y=x+2\) este asimptotă oblică spre \(+\infty\) a graficului funcției \(f(x)=\frac{x^2+ax+1}{x+1}\), \(x\ne -1\).
- Determină asimptotele graficului funcției \(f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{e^x}{x}\).
- Determină asimptotele graficului funcției \(f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x\,e^{\frac{1}{x}}\).
- Determină punctele de discontinuitate ale funcției parte întreagă \(f:[0,3]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=[x]\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa
Răspunsuri
- \(l_s=l_d=f(1)=2\), deci \(f\) este continuă în 1
- \(l_s=4\ne l_d=5\): discontinuă în 2 (discontinuitate de speța întâi)
- Verticală \(x=3\); orizontală \(y=2\) spre \(\pm\infty\)
- a) Adevărat; b) Fals; c) Adevărat
- \(x=0\) (la dreapta): \(\lim\limits_{x\searrow 0}\ln x=-\infty\)
- \(a=1\) (\(2a+1=3\))
- \(a=1\)
- \(m=4\)
- Verticală \(x=1\); oblică \(y=x+1\) spre \(\pm\infty\) (\(\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}\)); nu are asimptote orizontale
- Verticale \(x=-2\) și \(x=2\); orizontală \(y=1\) spre \(\pm\infty\)
- \(f(x)=x^3+x-1\) este continuă, \(f(0)=-1\lt 0\), \(f(1)=1\gt 0\) — proprietatea lui Darboux
- \(y=x\) spre \(+\infty\) și \(y=-x\) spre \(-\infty\)
- \(a=1\) (în 0), \(b=4\) (în 1: \(3=b-1\))
- \(a=3\) (\(m=1\), \(n=\lim\limits_{x\to\infty}\left(f(x)-x\right)=a-1=2\))
- Verticală \(x=0\); orizontală \(y=0\) spre \(-\infty\); spre \(+\infty\) nu are asimptotă (\(\frac{f(x)}{x}\to+\infty\))
- Verticală \(x=0\) la dreapta (\(\lim\limits_{x\searrow 0}f(x)=+\infty\), iar la stânga limita este 0); oblică \(y=x+1\) spre \(\pm\infty\)
- \(x\in\{1,2,3\}\) (în fiecare, \(l_s=k-1\ne f(k)=k\))