Fișă de lucru monotonie și puncte de extrem clasa a 11-a — 17 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 11-a despre rolul derivatei întâi: intervale de monotonie, puncte de extrem local, valori minime și maxime, demonstrarea unor inegalități și discuția numărului de soluții ale unei ecuații. Răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — monotonie și puncte de extrem (derivata întâi), clasa a 11-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Pentru fiecare funcție calculează \(f'\), rezolvă \(f'(x)=0\) și fă tabelul de semn al derivatei.

I. Nivel ușor

  1. Determină intervalele de monotonie și punctul de extrem al funcției \(f(x)=x^2-6x+1\).
  2. Determină intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției \(f(x)=x^3-3x\).
  3. Arată că funcția \(f(x)=x^3+x+1\) este strict crescătoare pe \(\mathbb{R}\).
  4. Determină intervalele de monotonie și punctul de extrem al funcției \(f(x)=e^x-x\).
  5. Determină punctele de extrem ale funcției \(f(x)=2x^3-3x^2\).

II. Nivel mediu

  1. Determină intervalele de monotonie și punctul de extrem al funcției \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x\ln x\).
  2. Determină intervalele de monotonie și punctul de extrem al funcției \(f(x)=x\,e^{-x}\).
  3. Determină valoarea minimă a funcției \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x+\frac{4}{x}\).
  4. Determină intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției \(f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\).
  5. Determină punctele de extrem ale funcției \(f(x)=x^4-2x^2\).
  6. Determină intervalele de monotonie și valoarea maximă a funcției \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\).

III. Nivel greu

  1. Arată că \(e^x\ge x+1\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\).
  2. Arată că \(\ln x\le x-1\) pentru orice \(x\gt 0\).
  3. Determină valorile reale ale lui \(m\) pentru care funcția \(f(x)=x^3+mx^2+3x\) este crescătoare pe \(\mathbb{R}\).
  4. Determină \(a\in\mathbb{R}\) pentru care \(x_0=2\) este punct de extrem al funcției \(f(x)=x^3+ax^2+2\). Precizează natura extremului.
  5. Determină valoarea minimă și valoarea maximă a funcției \(f:[0,2]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3-3x\).
  6. Discută, după valorile parametrului real \(m\), numărul soluțiilor reale ale ecuației \(x^3-3x=m\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(f'(x)=2x-6\); descrescătoare pe \((-\infty,3]\), crescătoare pe \([3,\infty)\); minim \(f(3)=-8\)
  2. \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\); crescătoare pe \((-\infty,-1]\) și \([1,\infty)\), descrescătoare pe \([-1,1]\); maxim \(f(-1)=2\), minim \(f(1)=-2\)
  3. \(f'(x)=3x^2+1\gt 0\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\)
  4. \(f'(x)=e^x-1\); descrescătoare pe \((-\infty,0]\), crescătoare pe \([0,\infty)\); minim \(f(0)=1\)
  5. \(f'(x)=6x(x-1)\); maxim local \(f(0)=0\), minim local \(f(1)=-1\)
  6. \(f'(x)=\ln x+1\); descrescătoare pe \(\left(0,\frac{1}{e}\right]\), crescătoare pe \(\left[\frac{1}{e},\infty\right)\); minim \(f\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e}\)
  7. \(f'(x)=(1-x)e^{-x}\); crescătoare pe \((-\infty,1]\), descrescătoare pe \([1,\infty)\); maxim \(f(1)=\frac{1}{e}\)
  8. \(f'(x)=\frac{x^2-4}{x^2}\); minimul este \(f(2)=4\)
  9. \(f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}\); crescătoare pe \((-\infty,0]\) și \([2,\infty)\), descrescătoare pe \([0,1)\) și \((1,2]\); maxim local \(f(0)=0\), minim local \(f(2)=4\)
  10. \(f'(x)=4x(x-1)(x+1)\); minime \(f(-1)=f(1)=-1\), maxim local \(f(0)=0\)
  11. \(f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\); crescătoare pe \((0,e]\), descrescătoare pe \([e,\infty)\); maximul \(f(e)=\frac{1}{e}\)
  12. \(g(x)=e^x-x-1\), \(g'(x)=e^x-1\); \(g\) are minimul \(g(0)=0\), deci \(g(x)\ge 0\)
  13. \(h(x)=\ln x-x+1\), \(h'(x)=\frac{1-x}{x}\); \(h\) are maximul \(h(1)=0\), deci \(h(x)\le 0\)
  14. \(m\in[-3,3]\) (\(f'(x)=3x^2+2mx+3\ge 0\) pentru orice \(x\) exact când \(\Delta=4m^2-36\le 0\))
  15. \(f'(2)=12+4a=0\Rightarrow a=-3\); \(f'(x)=3x(x-2)\), deci \(x_0=2\) este punct de minim local, \(f(2)=-2\)
  16. Minimul \(f(1)=-2\); maximul \(f(2)=2\) (\(f(0)=0\))
  17. 1 soluție pentru \(m\lt -2\) sau \(m\gt 2\); 2 soluții pentru \(m=\pm 2\); 3 soluții pentru \(m\in(-2,2)\)

Teorie: Aplicații ale derivatelor — monotonie și extreme · Proprietățile funcțiilor · Calculator derivate · Formule clasa a 11-a · Alte fișe: toate fișele de lucru