Fișă de lucru integrala definită clasa a 12-a — 18 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 18 exerciții pentru clasa a 12-a despre integrala definită: formula Leibniz–Newton, proprietăți (liniaritate, aditivitate, monotonie), integrale cu modul și pe ramuri, funcții pare și impare, integrala ca funcție de limita superioară și șiruri de integrale (M1).

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — integrala definită, clasa a 12-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț.

I. Nivel ușor

  1. Calculează \(\int_1^2\left(3x^2-2x\right)dx\).
  2. Calculează \(\int_0^1 e^x\,dx\) și \(\int_0^{\pi}\sin x\,dx\).
  3. Calculează \(\int_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\).
  4. Adevărat sau fals, pentru \(f,g\) continue? a) \(\int_a^a f(x)\,dx=0\); b) \(\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx\); c) \(\int_0^2 x\,dx+\int_2^3 x\,dx=\int_0^3 x\,dx\); d) \(\int_0^1 f(x)g(x)\,dx=\int_0^1 f(x)\,dx\cdot\int_0^1 g(x)\,dx\).
  5. Știind că \(\int_0^2 f(x)\,dx=3\) și \(\int_0^2 g(x)\,dx=-1\), calculează \(\int_0^2\left(2f(x)-3g(x)\right)dx\).
  6. Determină numărul real \(a\gt 0\) pentru care \(\int_0^a(2x+1)\,dx=6\).

II. Nivel mediu

  1. Calculează \(\int_0^2|x-1|\,dx\).
  2. Calculează \(\int_{-1}^2|x|\,dx\).
  3. Calculează \(\int_{-1}^1\left(x^5+3x^2\right)dx\), folosind paritatea funcțiilor.
  4. Calculează \(\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin x\,dx\).
  5. Fie \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\le 0\\e^x,&x\gt 0\end{cases}\). Arată că \(f\) este continuă și calculează \(\int_{-1}^1 f(x)\,dx\).
  6. Calculează \(\int_0^3\left|x^2-3x+2\right|dx\).

III. Nivel greu

  1. Arată că \(1\le\int_0^1 e^{x^2}dx\le e\).
  2. Fie \(F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(F(x)=\int_0^x e^{t^2}dt\). Calculează \(F'(x)\) și arată că \(F\) este strict crescătoare. (M1)
  3. Calculează \(\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\int_0^x t\,e^t\,dt\). (M1)
  4. Fie \(I_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,dx\), \(n\in\mathbb{N}\). Calculează \(I_0\) și \(I_1\). (M1)
  5. Pentru șirul \(I_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,dx\), arată că \(I_{n+1}+I_n=\frac{1}{n+1}\), pentru orice \(n\in\mathbb{N}\). (M1)
  6. Pentru același șir \(\left(I_n\right)\), arată că \(0\le I_n\le\frac{1}{n+1}\) și calculează \(\lim_{n\to\infty}I_n\). (M1)
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. 4 (\(\left.\left(x^3-x^2\right)\right|_1^2=4-0\))
  2. \(e-1\) și \(2\)
  3. 2 (\(\left.2\sqrt{x}\right|_1^4\))
  4. a) A; b) A; c) A (aditivitate); d) F (ex.: \(f=g=x\): \(\frac{1}{3}\ne\frac{1}{4}\))
  5. 9 (liniaritate: \(6+3\))
  6. \(a=2\) (\(a^2+a=6\))
  7. 1 (\(\int_0^1(1-x)\,dx+\int_1^2(x-1)\,dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\))
  8. \(\frac{5}{2}\) (\(\frac{1}{2}+2\))
  9. 2 (\(x^5\) impară: 0; \(3x^2\) pară: \(2\int_0^1 3x^2\,dx=2\))
  10. 0 (integrandul este funcție impară, interval simetric)
  11. \(f(0)=1=\lim_{x\searrow 0}e^x\); integrala \(=\frac{1}{2}+(e-1)=e-\frac{1}{2}\)
  12. \(\frac{11}{6}\) (\(\frac{5}{6}+\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\); rădăcinile 1 și 2)
  13. Pentru \(x\in[0,1]\): \(0\le x^2\le 1\Rightarrow 1\le e^{x^2}\le e\); se integrează pe \([0,1]\) (monotonia integralei)
  14. \(F'(x)=e^{x^2}\gt 0\), deci \(F\) este strict crescătoare
  15. \(\frac{1}{2}\) (l'Hospital: \(\lim_{x\to 0}\frac{x\,e^x}{2x}\))
  16. \(I_0=\ln 2\), \(I_1=1-\ln 2\)
  17. \(I_{n+1}+I_n=\int_0^1\frac{x^n(x+1)}{1+x}\,dx\) \(=\int_0^1 x^n\,dx=\frac{1}{n+1}\)
  18. \(0\le\frac{x^n}{1+x}\le x^n\) pe \([0,1]\), deci \(0\le I_n\le\frac{1}{n+1}\); \(\lim I_n=0\) (criteriul cleștelui)

Teorie: Integrale definite — Leibniz–Newton și proprietăți · Primitiva unei funcții · Calculator integrale pas cu pas · Formule clasa a 12-a · Alte fișe: toate fișele de lucru