Fișă de lucru vectori în plan clasa a 9-a — 18 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 18 exerciții despre vectori în plan: adunare, scădere, înmulțire cu un scalar, coliniaritate, vectorul de poziție și centrul de greutate. Capitolul aparține programei vechi de clasa a 9-a (M1); în programa nouă din 2026–2027 nu mai este capitol separat, dar rămâne util la geometria analitică și la fizică.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — vectori în plan (programa veche, M1), clasa a 9-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Notăm cu \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) versorii axelor \(Ox\) și \(Oy\); \(\vec{r}_A\) este vectorul de poziție al punctului \(A\).

I. Nivel ușor

  1. În paralelogramul \(ABCD\) din figură, completează: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D\dots}\), \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B\dots}\), \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A\dots}\).ABCD
  2. Simplifică: a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\); b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).
  3. Fie \(\vec{u}=2\vec{i}+3\vec{j}\) și \(\vec{v}=-\vec{i}+4\vec{j}\). Calculează \(\vec{u}+\vec{v}\) și \(2\vec{u}-\vec{v}\).
  4. Calculează modulul (lungimea) vectorului \(\vec{w}=3\vec{i}-4\vec{j}\).
  5. Fie punctele \(A(1,2)\) și \(B(4,6)\). Scrie vectorul \(\overrightarrow{AB}\) în funcție de \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) și calculează lungimea \(AB\).
  6. Adevărat sau fals? a) \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\); b) \(\overrightarrow{AA}=\vec{0}\); c) \(|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{u}|+|\vec{v}|\) pentru orice vectori \(\vec{u}\), \(\vec{v}\); d) doi vectori opuși au același modul.
  7. Scrie vectorul de poziție al punctului \(M(-3,5)\) și calculează \(|\vec{r}_M|\).

II. Nivel mediu

  1. Determină numărul real \(m\) pentru care vectorii \(\vec{u}=2\vec{i}+m\vec{j}\) și \(\vec{v}=3\vec{i}-6\vec{j}\) sunt coliniari.
  2. Arată că punctele \(A(1,1)\), \(B(3,5)\) și \(C(4,7)\) sunt coliniare.
  3. În triunghiul \(ABC\), \(M\) este mijlocul laturii \([BC]\). Exprimă \(\overrightarrow{AM}\) în funcție de \(\overrightarrow{AB}\) și \(\overrightarrow{AC}\).
  4. Fie \(A(2,-1)\) și \(B(6,5)\). Determină vectorul de poziție al mijlocului \(M\) al segmentului \([AB]\).
  5. Determină coordonatele centrului de greutate \(G\) al triunghiului cu vârfurile \(A(1,2)\), \(B(5,0)\), \(C(3,7)\).
  6. Fie \(\vec{u}=\vec{i}+2\vec{j}\), \(\vec{v}=3\vec{i}-\vec{j}\), \(\vec{w}=5\vec{i}+3\vec{j}\). Determină numerele reale \(a\), \(b\) pentru care \(\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\).
  7. Punctul \(P\) aparține segmentului \([AB]\), unde \(A(1,1)\), \(B(7,4)\), și \(\frac{PA}{PB}=\frac{1}{2}\). Determină coordonatele lui \(P\).

III. Nivel greu

  1. Fie \(A(1,1)\), \(B(5,2)\), \(C(6,5)\). Determină coordonatele punctului \(D\) astfel încât \(ABCD\) să fie paralelogram.
  2. În triunghiul \(ABC\), punctul \(D\in(BC)\) verifică \(BD=2\,DC\). Exprimă \(\overrightarrow{AD}\) în funcție de \(\overrightarrow{AB}\) și \(\overrightarrow{AC}\).
  3. \(G\) este centrul de greutate al triunghiului \(ABC\), iar \(M\) un punct oarecare din plan. Arată că \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\).
  4. În patrulaterul \(ABCD\), \(M\) și \(N\) sunt mijloacele diagonalelor \([AC]\) și \([BD]\). Arată că \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{MN}\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\) (regula paralelogramului)
  2. a) \(\overrightarrow{AD}\) (regula triunghiului); b) \(\overrightarrow{CB}\)
  3. \(\vec{u}+\vec{v}=\vec{i}+7\vec{j}\); \(2\vec{u}-\vec{v}=5\vec{i}+2\vec{j}\)
  4. \(|\vec{w}|=\sqrt{9+16}=5\)
  5. \(\overrightarrow{AB}=3\vec{i}+4\vec{j}\), \(AB=5\)
  6. a) A; b) A; c) F (egalitate doar pentru vectori de același sens); d) A
  7. \(\vec{r}_M=-3\vec{i}+5\vec{j}\), \(|\vec{r}_M|=\sqrt{34}\)
  8. \(m=-4\) (\(\frac{2}{3}=\frac{m}{-6}\))
  9. \(\overrightarrow{AB}=2\vec{i}+4\vec{j}\), \(\overrightarrow{AC}=3\vec{i}+6\vec{j}\); \(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\), deci vectorii sunt coliniari și punctele sunt coliniare
  10. \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
  11. \(\vec{r}_M=\frac{\vec{r}_A+\vec{r}_B}{2}=4\vec{i}+2\vec{j}\), deci \(M(4,2)\)
  12. \(G(3,3)\) (\(\vec{r}_G=\frac{\vec{r}_A+\vec{r}_B+\vec{r}_C}{3}\))
  13. \(a=2\), \(b=1\) (\(a+3b=5\), \(2a-b=3\))
  14. \(P(3,2)\) (\(\vec{r}_P=\frac{\vec{r}_A+k\vec{r}_B}{1+k}\), \(k=\frac{1}{2}\))
  15. \(D(2,4)\) (\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\), deci \(\vec{r}_D=\vec{r}_A+\vec{r}_C-\vec{r}_B\))
  16. \(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) (\(\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\))
  17. \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\) etc.; adunând și folosind \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\) rezultă egalitatea
  18. Cu vectori de poziție: \(2\overrightarrow{MN}=(\vec{r}_B+\vec{r}_D)-(\vec{r}_A+\vec{r}_C)=(\vec{r}_B-\vec{r}_A)+(\vec{r}_D-\vec{r}_C)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\)

Teorie: Coordonatele și lungimea unui vector · Geometrie analitică — formule · Formule clasa a 9-a · Alte fișe: toate fișele de lucru