Fișă de lucru progresii aritmetice și geometrice clasa a 9-a — 18 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 18 exerciții pentru clasa a 9-a despre progresii aritmetice și geometrice: termenul general, condiția de trei termeni consecutivi, suma primilor \(n\) termeni și probleme practice (dobânda compusă). Exercițiul marcat (M1) este doar pentru profilul matematică-informatică.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — progresii aritmetice și geometrice, clasa a 9-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț.

I. Nivel ușor

  1. Scrie primii 5 termeni ai progresiei aritmetice cu \(a_1=3\) și rația \(r=4\).
  2. Progresia aritmetică \((a_n)\) are \(a_1=5\) și \(r=-2\). Calculează \(a_{10}\).
  3. Progresia geometrică \((b_n)\) are \(b_1=2\) și rația \(q=3\). Scrie primii 4 termeni și calculează \(b_6\).
  4. Arată că numerele 4, 9 și 14 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
  5. Determină numărul real \(x\) pentru care \(x\), 6 și 12 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
  6. Calculează suma primilor 20 de termeni ai progresiei aritmetice 1, 4, 7, …

II. Nivel mediu

  1. Progresia aritmetică \((a_n)\) are \(a_3=7\) și \(a_7=19\). Determină \(a_1\), rația și termenul general.
  2. Calculează suma \(1+3+5+\dots+99\).
  3. Progresia geometrică \((b_n)\) are \(b_2=6\) și \(b_5=48\). Determină \(b_1\), rația și suma primilor 6 termeni.
  4. Calculează suma \(1+2+2^2+\dots+2^9\).
  5. Determină numărul real \(x\) pentru care \(x-1\), \(2x+1\) și \(4x-1\) sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
  6. Determină numărul real \(x\) pentru care \(x\), \(x+2\) și \(x+8\) sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

III. Nivel greu

  1. Un elev rezolvă 5 probleme în prima zi și, în fiecare zi următoare, cu 3 probleme mai mult decât în ziua precedentă. Câte probleme rezolvă în ziua a 10-a și câte în total, în cele 10 zile?
  2. O sumă de 10 000 de lei este depusă la bancă cu o dobândă anuală de 5%, cu capitalizare (dobândă compusă). Ce sumă va fi în cont după 3 ani?
  3. Suma primilor \(n\) termeni ai unei progresii aritmetice este \(S_n=n^2+2n\). Determină \(a_1\), rația și termenul general.
  4. Câți termeni ai progresiei aritmetice 2, 5, 8, … trebuie adunați pentru a obține suma 155?
  5. Trei numere în progresie geometrică au suma 21 și produsul 216. Determină numerele.
  6. (M1) Folosind identitatea \(a^n-b^n\) \(=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1}\right)\), arată că \(5^n-2^n\) se divide cu 3, pentru orice \(n\in\mathbb{N}^*\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. 3, 7, 11, 15, 19
  2. \(a_{10}=5+9\cdot(-2)=-13\)
  3. 2, 6, 18, 54; \(b_6=2\cdot 3^5=486\)
  4. \(9=\frac{4+14}{2}\)
  5. \(x=3\) (\(6^2=12x\))
  6. \(a_{20}=58\), \(S_{20}=\frac{(1+58)\cdot 20}{2}=590\)
  7. \(r=3\), \(a_1=1\), \(a_n=3n-2\)
  8. 2500 (50 de termeni)
  9. \(q=2\), \(b_1=3\), \(S_6=3\cdot(2^6-1)=189\)
  10. \(2^{10}-1=1023\)
  11. \(x=4\) (termenii 3, 9, 15)
  12. \(x=1\) (termenii 1, 3, 9)
  13. 32 de probleme în ziua a 10-a; 185 în total
  14. \(10\,000\cdot 1{,}05^3=11\,576{,}25\) lei
  15. \(a_1=S_1=3\), \(a_2=S_2-S_1=5\), \(r=2\), \(a_n=2n+1\)
  16. 10 termeni (\(\frac{n(3n+1)}{2}=155\Rightarrow 3n^2+n-310=0\))
  17. 3, 6, 12 (sau 12, 6, 3): termenul din mijloc este \(\sqrt[3]{216}=6\)
  18. \(5^n-2^n\) \(=(5-2)\cdot\left(5^{n-1}+\dots+2^{n-1}\right)\) \(=3\cdot(\dots)\)

Teorie: Progresia aritmetică · Progresia geometrică · Matematici financiare (dobânzi) · Formule clasa a 9-a · Alte fișe: toate fișele de lucru