Fișă de lucru sisteme de ecuații liniare clasa a 11-a — 17 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 11-a despre sisteme de ecuații liniare: forma matriceală, regula lui Cramer, metoda lui Gauss, rangul unei matrice, teoremele Rouché și Kronecker–Capelli (M1) și discuția sistemelor cu parametru. Răspunsurile sunt la final, pe pagină separată la printare.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — sisteme de ecuații liniare, clasa a 11-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Exercițiile marcate (M1) sunt pentru programa M1 (rang, Rouché, Kronecker–Capelli).

I. Nivel ușor

  1. Scrie matricea sistemului și matricea extinsă pentru \(\begin{cases}x+2y-z=2\\2x-y+z=3\\x+y+z=6\end{cases}\).
  2. Verifică dacă tripletul \((1,2,3)\) este soluție a sistemului de la exercițiul 1.
  3. Rezolvă cu regula lui Cramer: \(\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=-1\end{cases}\).
  4. (M1) Determină rangul matricelor: a) \(\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\); b) \(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\); c) \(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\end{pmatrix}\).
  5. Arată că sistemul omogen \(\begin{cases}x+y=0\\2x+3y=0\end{cases}\) are numai soluția nulă.
  6. Determină valorile reale ale lui \(m\) pentru care sistemul \(\begin{cases}mx+y=1\\x+my=1\end{cases}\) are soluție unică.

II. Nivel mediu

  1. Rezolvă sistemul de la exercițiul 1 cu regula lui Cramer.
  2. Rezolvă prin metoda lui Gauss: \(\begin{cases}x+y+z=6\\x-y+2z=5\\2x+y-z=1\end{cases}\).
  3. (M1) Determină rangul matricei \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&m\end{pmatrix}\) în funcție de \(m\in\mathbb{R}\).
  4. Determină \(m\in\mathbb{R}\) pentru care sistemul \(\begin{cases}x+y+z=0\\x+2y+3z=0\\x+3y+mz=0\end{cases}\) are și soluții nenule, apoi rezolvă-l.
  5. (M1) Studiază compatibilitatea sistemului \(\begin{cases}x+y+z=1\\x+2y+3z=2\\x+3y+5z=a\end{cases}\), \(a\in\mathbb{R}\), și rezolvă-l când este compatibil.
  6. Suma a trei numere este 12. Primul este cu 2 mai mare decât al doilea, iar dublul primului este cu 6 mai mare decât al treilea. Află numerele.

III. Nivel greu

  1. Discută după \(a\in\mathbb{R}\) sistemul \(\begin{cases}ax+y+z=1\\x+ay+z=1\\x+y+az=1\end{cases}\).
  2. Pentru sistemul de la exercițiul 13, determină \(a\) pentru care soluția unică \((x_0,y_0,z_0)\) verifică \(x_0+y_0+z_0=\frac{1}{2}\).
  3. (M1) Determină \(m\in\mathbb{R}\) pentru care sistemul \(\begin{cases}x+y=3\\x-y=1\\2x+3y=m\end{cases}\) este compatibil (Kronecker–Capelli) și rezolvă-l.
  4. Rezolvă prin metoda lui Gauss: \(\begin{cases}x+y-z=1\\2x+3y+z=4\\3x+4y=5\end{cases}\).
  5. Determină funcția \(f(x)=ax^2+bx+c\) al cărei grafic trece prin punctele \(A(1,0)\), \(B(2,3)\) și \(C(-1,6)\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&-1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\), \(\bar{A}=\begin{pmatrix}1&2&-1&2\\2&-1&1&3\\1&1&1&6\end{pmatrix}\)
  2. Da: \(1+4-3=2\), \(2-2+3=3\), \(1+2+3=6\)
  3. \(\Delta=-5\), \(\Delta_x=-5\), \(\Delta_y=-10\); \(x=1\), \(y=2\)
  4. a) 1; b) 1 (liniile sunt proporționale); c) 2 (minorul \(\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=1\ne 0\))
  5. \(\Delta=1\ne 0\), deci sistemul este compatibil determinat: \(x=y=0\)
  6. \(m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\) (\(\Delta=m^2-1\ne 0\))
  7. \(\Delta=-7\), \(\Delta_x=-7\), \(\Delta_y=-14\), \(\Delta_z=-21\); \(x=1\), \(y=2\), \(z=3\)
  8. \(x=1\), \(y=2\), \(z=3\)
  9. \(\det A=m-5\): rang 3 pentru \(m\ne 5\); rang 2 pentru \(m=5\)
  10. \(m=5\) (\(\Delta=m-5=0\)); soluțiile: \((\alpha,-2\alpha,\alpha)\), \(\alpha\in\mathbb{R}\)
  11. \(\det A=0\), rang \(A=2\); determinantul caracteristic este \(a-3\). Compatibil doar pentru \(a=3\) (Rouché): soluțiile \((\alpha,1-2\alpha,\alpha)\), \(\alpha\in\mathbb{R}\); pentru \(a\ne 3\) incompatibil
  12. 5, 3 și 4
  13. \(\Delta=(a-1)^2(a+2)\). \(a\notin\{1,-2\}\): compatibil determinat, \(x=y=z=\frac{1}{a+2}\); \(a=1\): compatibil dublu nedeterminat (\(x+y+z=1\)); \(a=-2\): incompatibil (adunând ecuațiile: \(0=3\))
  14. \(a=4\) (\(\frac{3}{a+2}=\frac{1}{2}\))
  15. rang \(A=2\); compatibil \(\iff\) \(\begin{vmatrix}1&1&3\\1&-1&1\\2&3&m\end{vmatrix}=14-2m=0\), adică \(m=7\); soluția \(x=2\), \(y=1\)
  16. A treia ecuație este suma primelor două: compatibil simplu nedeterminat, \((4\alpha-1,\,2-3\alpha,\,\alpha)\), \(\alpha\in\mathbb{R}\)
  17. \(f(x)=2x^2-3x+1\) (sistemul \(a+b+c=0\), \(4a+2b+c=3\), \(a-b+c=6\))

Teorie: Sisteme de ecuații — Cramer, exemple · Determinanți — teorie · Calculator sisteme de ecuații (Cramer, Gauss) · Formule clasa a 11-a · Alte fișe: toate fișele de lucru