Calculator logaritmi — log în orice bază, ln, lg, pas cu pas
Calculator logaritmi pas cu pas
Baza a (sus, mică) și argumentul b pot fi: întregi, zecimale (0,5), fracții (1/27), radicali (√2, ∛4), puteri (2^5, 3^(−1/2)) sau e. Pentru ln scrie baza e, pentru lg scrie baza 10.
Ecuația are forma aexponent = b. Exponentul poate fi x, 2x−1, x+3, x/2 sau (x+1)/3; a și b se scriu ca la prima filă (8, 1/27, √2, e).
Vezi fiecare proprietate a logaritmilor (produs, cât, putere, schimbarea bazei) aplicată pe numerele tale.
Dezvoltare: scrie doar ce e sub logaritm, de exemplu x^2y/z^3, 8x^3, √x/(4y). Restrângere: scrie o sumă de logaritmi, de exemplu 2log x + log y - 3log z, lg 5 + lg 20 sau log_2 12 - log_2 3. Literele sunt considerate pozitive.
Calculatorul de mai sus calculează logaritmul în orice bază: \(\log_a b\), \(\ln b\) (baza \(e\)) și \(\lg b\) (baza 10). Când rezultatul este un număr rațional, îl obții exact — de exemplu \(\log_2 32 = 5\), \(\log_4 8 = \dfrac{3}{2}\) sau \(\log_9 \dfrac{1}{27} = -\dfrac{3}{2}\) — prin scrierea bazei și a argumentului ca puteri ale aceluiași număr, exact cum se rezolvă la clasă. Altfel primești valoarea zecimală, calculată cu formula schimbării bazei. În celelalte file găsești rezolvarea ecuației exponențiale \(a^x = b\), proprietățile logaritmilor aplicate pe numerele tale și dezvoltarea sau restrângerea unei expresii cu logaritmi.
Ce este logaritmul
Logaritmul în baza \(a\) al numărului \(b\) este exponentul la care trebuie ridicat \(a\) ca să obținem \(b\):
\[ \log_a b = x \iff a^x = b, \qquad a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0. \]Cele trei condiții se numesc condiții de existență. Baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1 (pentru că \(1^x = 1\) mereu), iar argumentul trebuie să fie strict pozitiv, pentru că o putere cu bază pozitivă nu poate fi niciodată 0 sau negativă. De aceea \(\log_2(-8)\), \(\log_3 0\) și \(\log_1 5\) nu există, iar calculatorul îți spune exact ce condiție nu este îndeplinită. Două baze au nume și notații speciale: \(\lg b = \log_{10} b\) (logaritmul zecimal) și \(\ln b = \log_e b\) (logaritmul natural, cu \(e \approx 2{,}71828\)). Teoria completă este pe pagina logaritmul unui număr real pozitiv.
Cum se calculează un logaritm exact
Metoda de bază este scrierea bazei și a argumentului ca puteri ale aceluiași număr. De exemplu, pentru \(\log_4 8\): \(4 = 2^2\) și \(8 = 2^3\). Din definiție, \(4^x = 8\), adică \(2^{2x} = 2^3\). Funcția exponențială este injectivă, deci exponenții sunt egali: \(2x = 3\), \(x = \dfrac{3}{2}\). Metoda funcționează și cu fracții și radicali, folosind regulile de la puteri și radicali: \(\dfrac{1}{27} = 3^{-3}\), \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\), \(\sqrt[3]{4} = 2^{\frac{2}{3}}\).
Dacă numerele nu pot fi aduse la aceeași bază (de exemplu \(\log_2 3\)), logaritmul este irațional și se calculează aproximativ cu formula schimbării bazei:
\[ \log_a b = \dfrac{\lg b}{\lg a} = \dfrac{\ln b}{\ln a}, \qquad \log_2 3 = \dfrac{\ln 3}{\ln 2} \approx \dfrac{1{,}0986}{0{,}6931} \approx 1{,}585. \]Proprietățile logaritmilor
| Proprietatea | Formula | Exemplu |
|---|---|---|
| logaritmul unui produs | \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\) | \(\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2\) |
| logaritmul unui cât | \(\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\) | \(\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3\) |
| logaritmul unei puteri | \(\log_a x^n = n \log_a x\) | \(\log_2 8^5 = 5 \cdot 3 = 15\) |
| logaritmul unui radical | \(\log_a \sqrt[k]{x} = \dfrac{1}{k}\log_a x\) | \(\log_5 \sqrt{5} = \dfrac{1}{2}\) |
| schimbarea bazei | \(\log_a x = \dfrac{\log_c x}{\log_c a}\) | \(\log_8 2 = \dfrac{\log_2 2}{\log_2 8} = \dfrac{1}{3}\) |
| identitatea fundamentală | \(a^{\log_a x} = x\) | \(3^{\log_3 7} = 7\) |
Proprietățile se folosesc în ambele sensuri: dezvoltarea transformă \(\log_2 \dfrac{x^2 y}{z^3}\) în \(2\log_2 x + \log_2 y - 3\log_2 z\), iar restrângerea face drumul invers, aducând o sumă de logaritmi la unul singur — pasul obligatoriu în ecuațiile exponențiale și logaritmice.
Exemple rezolvate
Exemplul 1: \(\log_9 \dfrac{1}{27}\). Scriem \(9 = 3^2\) și \(\dfrac{1}{27} = 3^{-3}\). Atunci \(9^x = \dfrac{1}{27}\) devine \(3^{2x} = 3^{-3}\), deci \(2x = -3\) și \(\log_9 \dfrac{1}{27} = -\dfrac{3}{2}\).
Exemplul 2: \(\log_{\sqrt{2}} 8\). Cum \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\) și \(8 = 2^3\), avem \(2^{\frac{x}{2}} = 2^3\), deci \(x = 6\). Verificare: \((\sqrt{2})^6 = 2^3 = 8\).
Exemplul 3: ecuația \(3^{x+1} = 5\). Membrul drept nu este o putere a lui 3, așa că logaritmăm în baza 3: \(x + 1 = \log_3 5\), deci \(x = \log_3 5 - 1 \approx 0{,}465\). Ecuația \(2^x = -4\) nu are soluții, pentru că \(2^x > 0\) pentru orice \(x\) real.
Greșeli frecvente
- \(\log_a(x + y) \neq \log_a x + \log_a y\). Proprietatea este pentru produs: suma logaritmilor este logaritmul produsului.
- \(\log_a x^2 = 2\log_a |x|\), nu \(2\log_a x\), dacă \(x\) poate fi negativ — atenție la ecuații, unde se pot pierde soluții.
- Condițiile de existență uitate. La ecuațiile logaritmice se pun întâi condițiile \(b > 0\) pentru fiecare argument; soluțiile care nu le respectă se elimină.
- Confuzia dintre \(\lg\) și \(\ln\). \(\lg 100 = 2\), dar \(\ln 100 \approx 4{,}605\). Pe calculatorul de buzunar, tasta „log” înseamnă de obicei \(\lg\).
- Fracția inversată la schimbarea bazei: \(\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}\) — argumentul sus, baza jos.
Pentru graficul și monotonia funcțiilor \(a^x\) și \(\log_a x\) vezi funcția exponențială și funcția logaritmică; pentru unghiuri și funcții trigonometrice folosește calculatorul trigonometric.
Întrebări frecvente
Cum se calculează logaritmul în baza 2? Scrii argumentul ca putere a lui 2 și citești exponentul: \(\log_2 32 = 5\) pentru că \(2^5 = 32\), iar \(\log_2 \dfrac{1}{8} = -3\) pentru că \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\). Dacă argumentul nu este o putere a lui 2, folosești schimbarea bazei: \(\log_2 b = \dfrac{\ln b}{\ln 2}\), de exemplu \(\log_2 10 \approx 3{,}3219\).
Cât face log în baza 4 din 8? \(\log_4 8 = \dfrac{3}{2}\). Scrii \(4 = 2^2\) și \(8 = 2^3\); ecuația \(4^x = 8\) devine \(2^{2x} = 2^3\), deci \(2x = 3\) și \(x = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\).
De ce nu există logaritmul unui număr negativ? Pentru că \(\log_a b = x\) înseamnă \(a^x = b\), iar o putere cu bază pozitivă este întotdeauna strict pozitivă. Nu există niciun exponent real \(x\) pentru care \(2^x = -8\) sau \(2^x = 0\), deci \(\log_2(-8)\) și \(\log_2 0\) nu sunt definite în \(\mathbb{R}\).
Care este diferența dintre lg și ln? \(\lg\) este logaritmul în baza 10 (\(\lg 1000 = 3\)), iar \(\ln\) este logaritmul natural, în baza \(e \approx 2{,}71828\) (\(\ln e^2 = 2\)). Între ele există relația \(\ln x = \lg x \cdot \ln 10 \approx 2{,}3026 \lg x\).