Fișă de lucru numere complexe clasa a 10-a — 18 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 18 exerciții pentru clasa a 10-a despre numere complexe: forma algebrică, operații, conjugat, modul, puterile lui \(i\) și ecuații în \(\mathbb{C}\). Ultimele exerciții, marcate (M1), folosesc forma trigonometrică și formula lui Moivre; răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — numere complexe, clasa a 10-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț.

I. Nivel ușor

  1. Pentru \(z=3-4i\), scrie partea reală, partea imaginară, conjugatul și modulul.
  2. Calculează \((2+3i)+(1-5i)\) și \((2+3i)-(1-5i)\).
  3. Calculează \((2+3i)(1-i)\).
  4. Calculează \(i^2\), \(i^3\), \(i^4\) și \(i^{2026}\).
  5. Calculează modulele numerelor \(z_1=5+12i\), \(z_2=-6i\), \(z_3=1+i\).
  6. Adevărat sau fals? a) \(z\cdot\bar{z}=|z|^2\) pentru orice \(z\in\mathbb{C}\); b) \(\frac{1}{i}=i\); c) \((1+i)^2\) este un număr imaginar pur.

II. Nivel mediu

  1. Calculează \(\frac{3+i}{1-i}\).
  2. Calculează \((1+i)^{10}\).
  3. Determină numerele reale \(x\) și \(y\) pentru care \((x+2y)+(x-y)i=5+2i\).
  4. Rezolvă în \(\mathbb{C}\) ecuația \(x^2+9=0\).
  5. Rezolvă în \(\mathbb{C}\) ecuația \(x^2-4x+13=0\).
  6. Determină \(z\in\mathbb{C}\) pentru care \(2z+\bar{z}=6-2i\).

III. Nivel greu

  1. Determină numerele complexe \(z\) pentru care \(z^2=8-6i\).
  2. Arată că numărul \(z=(2+i)^2+(2-i)^2\) este real și calculează-l.
  3. Fie \(z=(m^2-4)+(m-2)i\), \(m\in\mathbb{R}\). Determină \(m\) pentru care: a) \(z\) este real; b) \(z\) este imaginar pur.
  4. Fie \(\varepsilon=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\). Arată că \(\varepsilon^2+\varepsilon+1=0\) și \(\varepsilon^3=1\).
  5. (M1) Scrie în formă trigonometrică numerele \(z_1=1+i\sqrt{3}\) și \(z_2=-2i\).
  6. (M1) Calculează \(\left(1+i\sqrt{3}\right)^6\) cu formula lui Moivre.
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(\operatorname{Re}z=3\), \(\operatorname{Im}z=-4\), \(\bar{z}=3+4i\), \(|z|=5\)
  2. \(3-2i\) și \(1+8i\)
  3. \(5+i\)
  4. \(-1\), \(-i\), \(1\), \(-1\) (\(2026=4\cdot 506+2\))
  5. \(13\), \(6\), \(\sqrt{2}\)
  6. a) A; b) F (\(\frac{1}{i}=-i\)); c) A (\((1+i)^2=2i\))
  7. \(1+2i\) (se amplifică cu \(1+i\))
  8. \(32i\) (\((1+i)^2=2i\), \((2i)^5=32i\))
  9. \(x=3\), \(y=1\)
  10. \(x\in\{-3i,3i\}\)
  11. \(x\in\{2-3i,2+3i\}\) (\(\Delta=-36\))
  12. \(z=2-2i\) (cu \(z=a+bi\): \(3a+bi=6-2i\))
  13. \(z\in\{3-i,-3+i\}\) (\(a^2-b^2=8\), \(ab=-3\))
  14. \(z=(3+4i)+(3-4i)=6\)
  15. a) \(m=2\); b) \(m=-2\) (\(z=-4i\))
  16. \(\varepsilon^2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\), deci suma este 0; \(\varepsilon^3=\varepsilon\cdot\varepsilon^2=\frac{1+3}{4}=1\)
  17. \(z_1=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)\), \(z_2=2\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)\)
  18. \(64\) (\(2^6(\cos 2\pi+i\sin 2\pi)\))

Teorie: Numere complexe — teorie · Ecuația de gradul al II-lea · Formule clasa a 10-a · Alte fișe: toate fișele de lucru