Asimptota oblică — formula m, n și ecuația y = mx + n

Q: Cum aflu asimptota oblică?

Calculezi m=_x→±∞(f(x))/(x); dacă m este finit și nenul, calculezi n=_x→±∞(f(x)-mx). Dacă și n este finit, asimptota oblică este y=mx+n. Faci calculul separat la +∞ și la -∞.

Q: Care este formula asimptotei oblice?

y = mx + n, cu m=_x→±∞(f(x))/(x) și n=_x→±∞(f(x)-mx). La funcții raționale, mx+n este câtul împărțirii numărătorului la numitor.

Q: Când nu are o funcție asimptotă oblică?

Când m este infinit sau nu există, când m = 0 (atunci poate exista asimptotă orizontală), când n este infinit, sau când domeniul este mărginit. De exemplu, f(x)=x² și f(x)=e^x nu au asimptotă oblică la +∞.

Formule

Asimptota oblică a unei funcții $f$ este dreapta $y = m x + n$ , unde $m = lim_{x \to \pm \infty} \frac{f (x)}{x}$ și $n = lim_{x \to \pm \infty} (f (x) - m x)$ , cu $m$ și $n$ numere finite și $m \neq 0$ . Practic: calculezi întâi $m$ , apoi, cu $m$ găsit, calculezi $n$ ; dacă ambele limite sunt finite, ecuația asimptotei oblice este $y = m x + n$ . Dacă funcția are asimptotă orizontală pe o ramură, nu mai are oblică pe aceeași ramură.

Definiție și formulă

Fie $f : D \to R$ . Când o asimptotă nu este paralelă cu axele $O x$ sau $O y$ , ea se numește asimptotă oblică. Dacă $+ \infty$ este punct de acumulare pentru $D$ și

$m = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} \in R^{*}, n = lim_{x \to + \infty} (f (x) - m x) \in R,$

atunci dreapta $y = m x + n$ este asimptotă oblică la $+ \infty$ (spre dreapta).

Analog, dacă $- \infty$ este punct de acumulare pentru $D$ și

$m^{'} = lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x} \in R^{*}, n^{'} = lim_{x \to - \infty} (f (x) - m^{'} x) \in R,$

atunci dreapta $y = m^{'} x + n^{'}$ este asimptotă oblică la $- \infty$ (spre stânga). Intuitiv, distanța dintre grafic și dreaptă tinde la 0: $lim (f (x) - (m x + n)) = 0$ .

Cum calculezi m și n — algoritm în 3 pași

Verifică domeniul și asimptota orizontală. Domeniul trebuie să fie nemărginit spre $+ \infty$ și/sau $- \infty$ . Dacă $lim_{x \to \pm \infty} f (x)$ este finită, ai asimptotă orizontală și te oprești pe ramura respectivă.
Calculează $m = lim \frac{f (x)}{x}$ . Dacă $m$ este infinit, nu există sau $m = 0$ , nu există asimptotă oblică. Folosește limitele de funcții și limitele remarcabile.
Calculează $n = lim (f (x) - m x)$ cu valoarea lui $m$ găsită. Dacă $n$ este finit, scrie concluzia: „dreapta $y = m x + n$ este asimptotă oblică la $+ \infty$ ”. Repetă pașii 2–3 la $- \infty$ .

Când există asimptotă oblică

Condiția: $m$ finit și nenul, iar $n$ finit. Dacă $m$ este finit, dar $n = \pm \infty$ (de exemplu $f (x) = x + \ln x$ ), nu există asimptotă oblică.
Funcții raționale $f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ : există asimptotă oblică exact când $grad P = grad Q + 1$ . Dacă diferența de grad este mai mare, $m = \pm \infty$ .
Scurtătură prin împărțirea polinoamelor: scrii $P (x) = Q (x) \cdot (m x + n) + R (x)$ ; atunci $f (x) = m x + n + \frac{R (x)}{Q (x)}$ , iar câtul $m x + n$ este chiar asimptota oblică (la ambele ramuri). Exemplu: $\frac{x^{2} + 3}{x - 1} = x + 1 + \frac{4}{x - 1}$ , deci $y = x + 1$ .
Funcții cu radical de tipul $\sqrt{a x^{2} + b x + c}$ : asimptotele la $+ \infty$ și $- \infty$ sunt de obicei diferite, pentru că $\sqrt{x^{2}} = | x |$ .

Asimptotă oblică vs. asimptotă orizontală

Asimptota orizontală este cazul particular $m = 0$ al dreptei $y = m x + n$ . De aceea, pe aceeași ramură ( $+ \infty$ sau $- \infty$ ), o funcție nu poate avea simultan asimptotă orizontală și asimptotă oblică. Dacă obții $m = 0$ , ai de fapt o asimptotă orizontală $y = n$ . Pe ramuri diferite pot coexista: $f (x) = x + e^{x}$ are asimptota oblică $y = x$ la $- \infty$ și niciuna la $+ \infty$ . Asimptotele verticale se studiază separat, în punctele finite. Toate tipurile sunt rezumate în pagina Asimptote.

Greșeli frecvente

Te oprești după $m$ . Fără $n$ finit nu ai asimptotă: pentru $f (x) = x + \ln x$ avem $m = 1$ , dar $n = lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$ .
Declari asimptotă oblică pentru $m = 0$ . În acest caz dreapta $y = n$ este asimptotă orizontală, nu oblică.
Calculezi doar la $+ \infty$ . La radicali, $\sqrt{x^{2}} = | x | = - x$ pentru $x < 0$ , deci la $- \infty$ semnul lui $m$ se schimbă.
Calculezi $n$ ca $lim f (x) - m x$ separat ( $\infty - \infty$ „simplificat” greșit). Aduci $f (x) - m x$ la același numitor sau amplifici cu conjugatul, apoi treci la limită.

Întrebări frecvente

Cum aflu asimptota oblică? Calculezi $m = lim_{x \to \pm \infty} \frac{f (x)}{x}$ ; dacă $m$ este finit și nenul, calculezi $n = lim_{x \to \pm \infty} (f (x) - m x)$ . Dacă și $n$ este finit, asimptota oblică este $y = m x + n$ . Faci calculul separat la $+ \infty$ și la $- \infty$ .

Care este formula asimptotei oblice? $y = m x + n$ , cu $m = lim_{x \to \pm \infty} \frac{f (x)}{x}$ și $n = lim_{x \to \pm \infty} (f (x) - m x)$ . La funcții raționale, $m x + n$ este câtul împărțirii numărătorului la numitor.

Când nu are o funcție asimptotă oblică? Când $m$ este infinit sau nu există, când $m = 0$ (atunci poate exista asimptotă orizontală), când $n$ este infinit, sau când domeniul este mărginit. De exemplu, $f (x) = x^{2}$ și $f (x) = e^{x}$ nu au asimptotă oblică la $+ \infty$ .

Verifică-ți rezolvarea: calculator asimptote — verticale, orizontale și oblice, pas cu pas.

Verifică-te: 3 întrebări

Pentru asimptota oblică $y = m x + n$ spre $+ \infty$ , panta $m$ se calculează cu:

$lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x}$
$lim_{x \to \infty} f (x)$
$lim_{x \to \infty} (f (x) - x)$

Asimptota oblică spre $+ \infty$ a funcției $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ este:

$y = x$
$y = x + 1$
$y = x - 1$

Funcția $f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{x^{2} + 1}$ are spre $+ \infty$ :

asimptota oblică $y = 2 x$
nicio asimptotă
asimptota orizontală $y = 2$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — funcție rațională simplă

$f : R^{*} \to R$ , $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$ .

Rezolvare. $m = lim_{x \to \pm \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} = 1$ , $n = lim_{x \to \pm \infty} (\frac{x^{2} + 1}{x} - x) = lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x} = 0$ . Dreapta $y = x$ este asimptotă oblică la $+ \infty$ și la $- \infty$ . În plus, $x = 0$ este asimptotă verticală.

Exemplul 2 — grad numărător = grad numitor + 1

$f : R ∖ {- 1} \to R$ , $f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x + 1}$ .

Rezolvare. $m = lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{2} + x} = 2$ , $n = lim_{x \to \pm \infty} (\frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x + 1} - 2 x) =$ $lim_{x \to \pm \infty} \frac{- 5 x + 1}{x + 1} = - 5$ . Asimptota oblică este $y = 2 x - 5$ la $\pm \infty$ . Verificare prin împărțire: $2 x^{2} - 3 x + 1 = (x + 1) (2 x - 5) + 6$ , deci $f (x) = 2 x - 5 + \frac{6}{x + 1}$ .

Exemplul 3 — radical, asimptote diferite la ±∞

$f : (- \infty, - 2] \cup [0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x}$ .

Rezolvare. La $+ \infty$ : $\sqrt{x^{2} + 2 x} = x \sqrt{1 + \frac{2}{x}}$ , deci $m = 1$ și $n = lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + 2 x} - x) =$ $lim_{x \to + \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2 x} + x} = 1$ . Asimptota la $+ \infty$ : $y = x + 1$ .

La $- \infty$ : $\sqrt{x^{2} + 2 x} = | x | \sqrt{1 + \frac{2}{x}} = - x \sqrt{1 + \frac{2}{x}}$ , deci $m = - 1$ și $n = lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 2 x} + x) =$ $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- x (\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)} = - 1$ . Asimptota la $- \infty$ : $y = - x - 1$ .

Exemplul 4 — m finit, dar fără asimptotă oblică

$f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x + \ln x$ .

Rezolvare. $m = lim_{x \to + \infty} (1 + \frac{\ln x}{x}) = 1$ , dar $n = lim_{x \to + \infty} (f (x) - x) = lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$ . Funcția nu are asimptotă oblică. (Are asimptota verticală $x = 0$ , deoarece $lim_{x ↘ 0} f (x) = - \infty$ .)

Exemplul 5 — exponențială și limită remarcabilă

$f : R^{*} \to R$ , $f (x) = x e^{1 / x}$ .

Rezolvare. $m = lim_{x \to \pm \infty} e^{1 / x} = e^{0} = 1$ . Pentru $n$ notăm $t = \frac{1}{x} \to 0$ : $n = lim_{x \to \pm \infty} x (e^{1 / x} - 1) = lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t} = 1$ . Asimptota oblică este $y = x + 1$ la $+ \infty$ și la $- \infty$ .

Exerciții

Exerciții propuse

Determinați asimptotele oblice ale funcțiilor (pe domeniul maxim de definiție):

$f (x) = \frac{x^{2} + 3}{x - 1}$
$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$
$f (x) = \frac{3 x^{2} - x + 2}{x}$
$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 5}$
$f (x) = x - arctg x$
$f (x) = x + e^{x}$

Răspunsuri

$y = x + 1$ la $\pm \infty$ , deoarece $f (x) = x + 1 + \frac{4}{x - 1}$ .
$y = x$ la $\pm \infty$ , deoarece $f (x) = x - \frac{x}{x^{2} + 1}$ .
$y = 3 x - 1$ la $\pm \infty$ , deoarece $f (x) = 3 x - 1 + \frac{2}{x}$ .
$y = x + 2$ la $+ \infty$ și $y = - x - 2$ la $- \infty$ ( $f (x) = \sqrt{(x + 2)^{2} + 1}$ ).
$y = x - \frac{π}{2}$ la $+ \infty$ și $y = x + \frac{π}{2}$ la $- \infty$ .
$y = x$ doar la $- \infty$ ( $e^{x} \to 0$ ); la $+ \infty$ , $m = lim (1 + \frac{e^{x}}{x}) = + \infty$ , deci nu există.

Vezi și asimptotele orizontale, asimptotele verticale și ecuația tangentei la graficul unei funcții.

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Asimptota oblică — formula, ecuația y = mx + n, exemple rezolvate