Fișă de lucru puteri de matrice și ecuații matriceale clasa a 11-a — 17 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 11-a despre puteri de matrice, calculul lui \(A^n\) prin inducție matematică, matricea inversă și ecuații matriceale de forma \(AX=B\) și \(XA=B\). Exercițiile urcă de la ușor la greu, iar răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — puteri de matrice, matrice inversă și ecuații matriceale, clasa a 11-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. \(I_2\) și \(O_2\) notează matricea unitate și matricea nulă de ordin 2.

I. Nivel ușor

  1. Fie \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\). Calculează \(A^2\) și \(A^3\).
  2. Calculează \(\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}^3\).
  3. Fie \(N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\). Arată că \(N^2=O_2\) și calculează \((I_2+N)^2\).
  4. Adevărat sau fals, pentru \(A,B\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\): a) \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\) pentru orice \(A,B\); b) \(\det(AB)=\det A\cdot\det B\); c) \(\det(2A)=2\det A\).
  5. Determină numerele reale \(x\) și \(y\) pentru care \(\begin{pmatrix}x+1&2\\3&y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\\3&x-y\end{pmatrix}\).
  6. Verifică dacă matricea \(B=\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}\) este inversa matricei \(A=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\).

II. Nivel mediu

  1. Fie \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\). Arată că \(A^2=2A\), calculează \(A^3\) și demonstrează prin inducție că \(A^n=2^{n-1}A\), \(n\ge 1\).
  2. Calculează inversa matricei \(A=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}\).
  3. Rezolvă ecuația matriceală \(\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}4&1\\7&3\end{pmatrix}\).
  4. Rezolvă ecuația matriceală \(X\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&7\\2&5\end{pmatrix}\).
  5. Determină valorile reale ale lui \(m\) pentru care matricea \(A=\begin{pmatrix}1&m&0\\0&1&2\\m&0&1\end{pmatrix}\) este inversabilă.
  6. Fie \(A=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}\). Verifică egalitatea \(A^2-5A+4I_2=O_2\) și deduce din ea \(A^{-1}\).

III. Nivel greu

  1. Fie \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\). Demonstrează prin inducție că \(A^n=\begin{pmatrix}2^n&n\cdot 2^{n-1}\\0&2^n\end{pmatrix}\), \(n\ge 1\), apoi scrie \(A^5\).
  2. Fie \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\). Arată că \(A^2=5A\) și calculează suma \(S=A+A^2+\dots+A^{10}\).
  3. Fie \(R(t)=\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}\). Arată că \(R(a)R(b)=R(a+b)\) și calculează \(\left(R\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^6\).
  4. Calculează inversa matricei \(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\).
  5. (M1) Determină matricele \(X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) pentru care \(X^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(A^2=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}\), \(A^3=\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}\)
  2. \(\begin{pmatrix}8&0\\0&27\end{pmatrix}\) (la o matrice diagonală se ridică la putere elementele diagonalei)
  3. \(N^2=O_2\); \((I_2+N)^2=I_2+2N=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\)
  4. a) Fals (este adevărat doar dacă \(AB=BA\)); b) Adevărat; c) Fals: \(\det(2A)=4\det A\)
  5. \(x=3\), \(y=\frac{3}{2}\) (\(x+1=4\), \(y=3-y\))
  6. Da: \(AB=BA=I_2\)
  7. \(A^3=4A=\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}\); pasul de inducție: \(A^{n+1}=A^n\cdot A=2^{n-1}A^2\) \(=2^{n-1}\cdot 2A=2^nA\)
  8. \(\det A=1\), \(A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\)
  9. \(X=A^{-1}B\) \(=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&1\\7&3\end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}\)
  10. \(X=BA^{-1}\) \(=\begin{pmatrix}3&7\\2&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-2\\-1&1\end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) (atenție la ordinea factorilor)
  11. Pentru orice \(m\in\mathbb{R}\): \(\det A=2m^2+1\ne 0\)
  12. \(A(5I_2-A)=4I_2\), deci \(A^{-1}=\frac{1}{4}(5I_2-A)=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{pmatrix}\)
  13. \(A^{n+1}=A^nA\) \(=\begin{pmatrix}2^{n+1}&2^n+n\cdot 2^n\\0&2^{n+1}\end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix}2^{n+1}&(n+1)2^n\\0&2^{n+1}\end{pmatrix}\); \(A^5=\begin{pmatrix}32&80\\0&32\end{pmatrix}\)
  14. \(A^n=5^{n-1}A\), deci \(S=(1+5+\dots+5^9)A\) \(=\frac{5^{10}-1}{4}A\) \(=2\,441\,406\,A\)
  15. Din formulele \(\cos(a+b)\), \(\sin(a+b)\); \(\left(R\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^6=R(\pi)=-I_2\)
  16. \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\) (\(\det A=1\))
  17. \(X\) comută cu \(X^2\), deci \(X\) este diagonală; \(X=\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 2\end{pmatrix}\) — 4 matrice

Teorie: Matrice inversabilă — formula inversei · Determinanți — teorie · Calculator determinant și matrice inversă · Formule clasa a 11-a · Alte fișe: toate fișele de lucru