Fișă de lucru convexitate și puncte de inflexiune clasa a 11-a — 16 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 16 exerciții pentru clasa a 11-a despre rolul derivatei a doua: calculul lui \(f''\), intervale de convexitate și concavitate, puncte de inflexiune și probleme cu parametru. Exercițiile urcă de la ușor la greu, iar răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — convexitate, concavitate și puncte de inflexiune, clasa a 11-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Reamintire: dacă \(f''\ge 0\) pe un interval, \(f\) este convexă; dacă \(f''\le 0\), \(f\) este concavă.

I. Nivel ușor

  1. Calculează \(f'(x)\) și \(f''(x)\) pentru \(f(x)=x^3-2x^2+5x\).
  2. Studiază convexitatea funcției \(f(x)=x^3\) și determină punctul de inflexiune.
  3. Arată că funcția \(f(x)=x^4+x^2\) este convexă pe \(\mathbb{R}\).
  4. Arată că funcția \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\ln x\), este concavă.
  5. Arată că funcția \(f(x)=e^x+x^2\) este convexă pe \(\mathbb{R}\).

II. Nivel mediu

  1. Determină intervalele de convexitate și concavitate și punctul de inflexiune pentru \(f(x)=x^3-6x^2+1\).
  2. Determină intervalele de convexitate și punctul de inflexiune pentru \(f(x)=x\,e^x\).
  3. Determină punctele de inflexiune ale graficului funcției \(f(x)=x^4-6x^2\).
  4. Studiază convexitatea funcției \(f(x)=\ln\left(x^2+1\right)\).
  5. Arată că funcția \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x\ln x\), este convexă.
  6. Studiază convexitatea funcției \(f:[0,2\pi]\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\sin x\).

III. Nivel greu

  1. Determină \(a\in\mathbb{R}\) pentru care graficul funcției \(f(x)=x^3+ax^2+1\) are punct de inflexiune în \(x_0=1\).
  2. Determină valorile reale ale lui \(a\) pentru care funcția \(f(x)=x^4+ax^3+6x^2\) este convexă pe \(\mathbb{R}\).
  3. Determină punctele de inflexiune ale graficului funcției \(f(x)=e^{-x^2}\).
  4. Determină punctele de inflexiune ale graficului funcției \(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\).
  5. Fie \(f(x)=x^3-3x^2+2\). Arată că \(I(1,0)\) este punct de inflexiune și că \(f(1+t)+f(1-t)=0\) pentru orice \(t\in\mathbb{R}\) (\(I\) este centru de simetrie al graficului).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(f'(x)=3x^2-4x+5\), \(f''(x)=6x-4\)
  2. \(f''(x)=6x\); concavă pe \((-\infty,0]\), convexă pe \([0,\infty)\); inflexiune în \((0,0)\)
  3. \(f''(x)=12x^2+2\gt 0\)
  4. \(f''(x)=-\frac{1}{x^2}\lt 0\)
  5. \(f''(x)=e^x+2\gt 0\)
  6. \(f''(x)=6x-12\); concavă pe \((-\infty,2]\), convexă pe \([2,\infty)\); inflexiune \((2,-15)\)
  7. \(f''(x)=(x+2)e^x\); concavă pe \((-\infty,-2]\), convexă pe \([-2,\infty)\); inflexiune \(\left(-2,-\frac{2}{e^2}\right)\)
  8. \(f''(x)=12(x-1)(x+1)\); convexă pe \((-\infty,-1]\) și \([1,\infty)\), concavă pe \([-1,1]\); inflexiune \((-1,-5)\) și \((1,-5)\)
  9. \(f''(x)=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\); concavă pe \((-\infty,-1]\) și \([1,\infty)\), convexă pe \([-1,1]\); inflexiune \((\pm 1,\ln 2)\)
  10. \(f'(x)=\ln x+1\), \(f''(x)=\frac{1}{x}\gt 0\)
  11. \(f''(x)=-\sin x\); concavă pe \([0,\pi]\), convexă pe \([\pi,2\pi]\); inflexiune \((\pi,0)\)
  12. \(a=-3\) (\(f''(x)=6x+2a\), \(f''(1)=0\); \(f''\) schimbă semnul în 1)
  13. \(a\in[-4,4]\) (\(f''(x)=12x^2+6ax+12\ge 0\) pentru orice \(x\) exact când \(\Delta=36a^2-576\le 0\))
  14. \(f''(x)=2(2x^2-1)e^{-x^2}\); inflexiune în \(x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\), punctele \(\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{\sqrt{e}}\right)\)
  15. \(f''(x)=\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\); punctele \(\left(-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\), \((0,0)\), \(\left(\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\)
  16. \(f''(x)=6x-6\), schimbă semnul în 1, \(f(1)=0\); \(f(1+t)=t^3-3t\), \(f(1-t)=-t^3+3t\)

Teorie: Aplicații ale derivatelor — convexitate și inflexiune · Formule derivate · Formule clasa a 11-a · Alte fișe: toate fișele de lucru