Dimitrie Pompeiu — biografie și contribuții în matematică

Dimitrie Pompeiu (1873–1954) a fost unul dintre cei mai originali analiști români, format la Paris de Henri Poincaré. Elevii de gimnaziu și liceu îl întâlnesc prin teorema lui Pompeiu despre triunghiul echilateral, o problemă de olimpiadă cu un enunț foarte simplu.

Viața

S-a născut la Broscăuți, în județul Botoșani, la 4 octombrie 1873 (22 septembrie pe stil vechi). A lucrat inițial ca învățător, apoi a plecat la Paris, unde a studiat matematica. În 1905 și-a susținut doctoratul la Sorbona, cu Henri Poincaré, cu o teză despre continuitatea funcțiilor de variabilă complexă.

A fost profesor la Iași (din 1907), apoi la București (din 1912), unde i-a urmat lui Spiru Haret la catedra de mecanică. A devenit membru al Academiei Române în 1934 și a fondat, în 1929, revista Mathematica. A murit la București, la 8 octombrie 1954.

Contribuții în matematică

Teorema lui Pompeiu (triunghiul echilateral)

Publicată în 1936, teorema spune:

Fie \( ABC \) un triunghi echilateral și \( M \) un punct din planul său. Atunci cu segmentele \( MA \), \( MB \), \( MC \) se poate construi întotdeauna un triunghi; acesta este degenerat (cele trei puncte sunt coliniare) doar când \( M \) se află pe cercul circumscris triunghiului \( ABC \).

Altfel spus, pentru orice punct \( M \) au loc inegalitățile triunghiului:

\[ MA \le MB + MC, \quad MB \le MA + MC, \quad MC \le MA + MB. \]

O demonstrație elegantă folosește o rotație de \( 60^\circ \) în jurul vârfului \( A \): punctul \( M \) ajunge în \( M' \), triunghiul \( AMM' \) este echilateral, deci \( MM' = MA \), iar \( M'C = MB \). Triunghiul \( MM'C \) are exact laturile \( MA, MB, MC \). Pentru cazul de egalitate se folosește teorema lui Ptolemeu.

Teorema de medie a lui Pompeiu

Pompeiu a dat o variantă interesantă a teoremei lui Lagrange. Dacă \( f \) este derivabilă pe \( [a,b] \) și intervalul nu conține pe 0, atunci există \( c \in (a,b) \) astfel încât

\[ \frac{a f(b) - b f(a)}{a - b} = f(c) - c\,f'(c). \]

Geometric, tangenta în \( c \) intersectează axa \( Oy \) în același punct ca dreapta care unește punctele \( (a, f(a)) \) și \( (b, f(b)) \).

Alte rezultate

• Derivatele Pompeiu (1906): a construit funcții derivabile, neconstante, a căror derivată se anulează pe o mulțime densă — un exemplu surprinzător pentru acea vreme.
• Problema lui Pompeiu (1929): dacă integrala unei funcții continue este aceeași pe orice pătrat de latură dată din plan, trebuie funcția să fie constantă? Întrebarea a generat zeci de lucrări.
• Formula Cauchy–Pompeiu din analiza complexă și distanța Pompeiu–Hausdorff dintre mulțimi, folosită azi și în prelucrarea imaginilor.

Unde îl întâlnești la școală

• Teorema despre triunghiul echilateral se leagă de aria triunghiului și de teorema cosinusului, cu care poți calcula laturile triunghiului \( MM'C \).
• Teorema de medie apare lângă teorema lui Lagrange, la aplicațiile derivatelor.
• Pentru exerciții, folosește tabelul de derivate și calculatorul de derivate.

Vezi și: Spiru Haret, Gheorghe Țițeica și Octav Onicescu, tot din județul Botoșani.

Curiozități

• Înainte de a deveni matematician, Pompeiu a fost învățător.
• Teorema lui Pompeiu apare frecvent la concursuri ca exercițiu cu rotații.
• Pompeiu și Gheorghe Țițeica s-au născut în același an, 1873, și au editat împreună revista Mathematica.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema lui Pompeiu? Pentru orice punct \( M \) din planul unui triunghi echilateral \( ABC \), segmentele \( MA, MB, MC \) pot forma un triunghi, degenerat doar dacă \( M \) este pe cercul circumscris.

Cine a fost profesorul lui Dimitrie Pompeiu? Și-a susținut doctoratul la Paris, în 1905, sub îndrumarea lui Henri Poincaré.

Ce este problema lui Pompeiu? O întrebare din 1929: o funcție continuă care are aceeași integrală pe toate pătratele de aceeași latură trebuie să fie constantă?

Vezi și: Augustin-Louis Cauchy, Euclid, Heron din Alexandria · toți matematicienii

Sursa: wikipedia.org