Fișă de lucru unghiuri în spațiu și secțiuni clasa a 8-a — unghi diedru, 18 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 18 exerciții pentru clasa a 8-a despre unghiuri în spațiu: unghiul a două drepte necoplanare, unghiul dintre o dreaptă și un plan, unghiul diedru și secțiuni în cub, prismă și piramidă. Exercițiile sunt ordonate de la ușor la greu; răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — unghiuri în spațiu și secțiuni, clasa a 8-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Figura cubului \(ABCDA'B'C'D'\) este la exercițiul 1.

I. Nivel ușor

  1. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\) din figură, află măsura unghiului dreptelor: a) \(AA'\) și \(BC\); b) \(AB\) și \(B'C'\); c) \(AB\) și \(A'C'\).ABCDA′B′C′D′
  2. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\), află măsura unghiului dreptelor: a) \(A'B\) și \(CD\); b) \(AC\) și \(B'D'\).
  3. Completează: unghiul dintre o dreaptă oblică și un plan este unghiul dintre dreaptă și ........ ei pe plan.
  4. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\), află măsura unghiului dintre: a) dreapta \(AA'\) și planul \((ABC)\); b) dreapta \(A'B\) și planul \((ABC)\).
  5. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\), află măsura unghiului dintre planele: a) \((ABC)\) și \((BCC')\); b) \((ABC)\) și \((A'B'C')\).
  6. Adevărat sau fals? a) Unghiul a două drepte necoplanare se află ducând printr-un punct paralele la ele. b) Unghiul dintre o dreaptă și un plan poate avea 120°. c) Dacă \(d\perp\alpha\), unghiul dintre \(d\) și \(\alpha\) are 90°. d) Unghiul a două plane paralele are 0°.

II. Nivel mediu

  1. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\), află măsura unghiului dreptelor \(AB'\) și \(BC'\).
  2. Cubul \(ABCDA'B'C'D'\) are muchia \(a\). Calculează tangenta și sinusul unghiului dintre diagonala \(A'C\) și planul \((ABC)\).
  3. Piramida patrulateră regulată \(VABCD\) are \(AB=6\) cm și înălțimea \(VO=3\sqrt{3}\) cm. Află măsura unghiului dintre o față laterală și planul bazei.
  4. Piramida patrulateră regulată \(VABCD\) are toate muchiile de 8 cm. Află măsura unghiului dintre muchia laterală \(VA\) și planul bazei.
  5. Triunghiul echilateral \(ABC\) are latura de 6 cm, iar \(MA\perp(ABC)\), \(MA=9\) cm. Află măsura unghiului diedru dintre planele \((MBC)\) și \((ABC)\).
  6. Cubul \(ABCDA'B'C'D'\) are muchia de 6 cm. Ce figură este secțiunea cu planul \((ACC')\)? Dar secțiunea cu planul \((A'BD)\)? Calculează ariile lor.

III. Nivel greu

  1. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\), calculează tangenta unghiului diedru dintre planele \((A'BD)\) și \((ABC)\).
  2. Tetraedrul regulat \(ABCD\) are muchia de 6 cm. Calculează cosinusul unghiului diedru dintre o față laterală și planul bazei \((ABC)\).
  3. Piramida patrulateră regulată \(VABCD\) are \(AB=12\) cm și înălțimea \(VO=8\) cm. Calculează aria secțiunii diagonale \(VAC\) și aria secțiunii făcute cu un plan paralel cu baza dus prin mijlocul înălțimii.
  4. Prisma triunghiulară regulată \(ABCA'B'C'\) are \(AB=6\) cm și \(AA'=3\) cm. Află măsura unghiului dintre planele \((A'BC)\) și \((ABC)\) și aria triunghiului \(A'BC\).
  5. Cubul \(ABCDA'B'C'D'\) are muchia de 6 cm, iar \(M\) este mijlocul muchiei \(CC'\). Calculează sinusul unghiului dintre dreapta \(AM\) și planul \((ABC)\).
  6. În cubul \(ABCDA'B'C'D'\), demonstrează că dreptele \(A'C\) și \(BD\) sunt perpendiculare.
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. a) 90°; b) 90° (\(B'C'\parallel BC\)); c) 45° (\(A'C'\parallel AC\), \(m(\angle BAC)=45^\circ\))
  2. a) 45° (\(CD\parallel AB\), \(m(\angle A'BA)=45^\circ\)); b) 90° (\(B'D'\parallel BD\perp AC\))
  3. proiecția
  4. a) 90°; b) 45° (proiecția lui \(A'B\) pe \((ABC)\) este \(AB\))
  5. a) 90°; b) 0° (plane paralele)
  6. a) A; b) F (cel mult 90°); c) A; d) A
  7. 60° (\(BC'\parallel AD'\), iar \(\triangle AB'D'\) este echilateral)
  8. Proiecția este \(AC=a\sqrt{2}\): \(\operatorname{tg}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
  9. 60° (\(M\) mijlocul lui \(BC\): \(OM=3\), \(\operatorname{tg}\angle VMO=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\))
  10. 45° (\(OA=4\sqrt{2}\), \(\cos\angle VAO=\frac{4\sqrt{2}}{8}=\frac{\sqrt{2}}{2}\))
  11. 60° (\(D\) mijlocul lui \(BC\): \(AD=3\sqrt{3}\), \(MD\perp BC\), \(\operatorname{tg}\angle MDA=\frac{9}{3\sqrt{3}}=\sqrt{3}\))
  12. \(ACC'A'\): dreptunghi \(6\times6\sqrt{2}\), aria \(36\sqrt{2}\) cm²; \(A'BD\): triunghi echilateral cu latura \(6\sqrt{2}\), aria \(18\sqrt{3}\) cm²
  13. \(\sqrt{2}\) (\(O=AC\cap BD\): \(A'O\perp BD\), \(\operatorname{tg}\angle A'OA=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\))
  14. \(\frac{1}{3}\) (\(O\) centrul bazei, \(M\) mijlocul lui \(BC\): \(OM=\sqrt{3}\), \(DM=3\sqrt{3}\))
  15. \(\mathcal{A}_{VAC}=\frac{12\sqrt{2}\cdot8}{2}=48\sqrt{2}\) cm²; secțiunea paralelă este un pătrat cu latura 6 cm, aria 36 cm²
  16. 30° (\(AM=3\sqrt{3}\), \(\operatorname{tg}=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)); \(A'M=6\), aria \(A'BC=18\) cm²
  17. \(\frac{1}{3}\) (proiecția este \(AC=6\sqrt{2}\), \(MC=3\), \(AM=\sqrt{72+9}=9\))
  18. \(BD\perp AC\) și \(BD\perp AA'\), deci \(BD\perp(AA'C)\supset A'C\); unghiul are 90°

Teorie: Piramida regulată — formule · Prisma regulată — formule · Geometrie în spațiu · Formule clasa a 8-a · Alte fișe: toate fișele de lucru