Piramida hexagonală regulată are baza un hexagon regulat de latură \( l \), format din 6 triunghiuri echilaterale, iar vârful se proiectează în centrul hexagonului. Formulele principale: \( a_b = \dfrac{l\sqrt{3}}{2} \), \( A_b = \dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2} \), \( A_l = 3l \cdot a_p \) și \( V = \dfrac{l^2\sqrt{3} \cdot h}{2} \).
Elementele piramidei hexagonale regulate
Fie piramida \( VABCDEF \) cu baza hexagonul regulat \( ABCDEF \), centrul \( O \) și \( M \) mijlocul laturii \( CD \). Diagonalele mari ale hexagonului trec prin \( O \) și îl împart în 6 triunghiuri echilaterale de latură \( l \), de aceea raza cercului circumscris este chiar \( R = l \).
| Element | Notație | Formula |
|---|---|---|
| Aria bazei | \( A_b \) | \( 6 \cdot \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2} \) |
| Perimetrul bazei | \( P_b \) | \( 6l \) |
| Apotema bazei | \( a_b = OM \) | \( \dfrac{l\sqrt{3}}{2} \) (înălțimea triunghiului echilateral \( OCD \)) |
| Raza cercului circumscris | \( R = OA \) | \( l \) |
| Diagonala mare | \( AD \) | \( 2l \) |
| Diagonala mică | \( AC \) | \( l\sqrt{3} \) |
| Apotema piramidei | \( a_p = VM \) | \( \sqrt{h^2 + \dfrac{3l^2}{4}} \) |
| Muchia laterală | \( m_l = VA \) | \( \sqrt{h^2 + l^2} \) |
Relațiile Pitagora
\[ \triangle VOM:\quad a_p^2 = h^2 + \frac{3l^2}{4} \] \[ \triangle VOA:\quad m_l^2 = h^2 + l^2 \] \[ \triangle VMD:\quad m_l^2 = a_p^2 + \frac{l^2}{4} \]Toate trei vin din teorema lui Pitagora. Pentru că \( R = l \), muchia laterală este întotdeauna mai mare decât latura bazei: \( m_l \gt l \).
Formulele ariilor și volumului
\[ A_l = \frac{P_b \cdot a_p}{2} = \frac{6l \cdot a_p}{2} = 3l \cdot a_p \] \[ A_t = A_l + A_b = 3l \cdot a_p + \frac{3l^2\sqrt{3}}{2} \] \[ V = \frac{A_b \cdot h}{3} = \frac{3l^2\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{h}{3} = \frac{l^2\sqrt{3} \cdot h}{2} \]Unghiuri și secțiuni
- Fața laterală cu planul bazei: \( \operatorname{tg} \angle VMO = \dfrac{h}{a_b} = \dfrac{2h}{l\sqrt{3}} \).
- Muchia laterală cu planul bazei: \( \operatorname{tg} \angle VAO = \dfrac{h}{l} \).
- Secțiunea prin diagonala mare \( VAD \): triunghi isoscel cu baza \( 2l \) și înălțimea \( h \), deci \( A_{VAD} = l \cdot h \).
- Secțiunea prin diagonala mică \( VAC \): triunghi isoscel cu baza \( l\sqrt{3} \) și laturile \( m_l \).
Greșeli frecvente
- Aria bazei scrisă \( \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} \) (un singur triunghi) în loc de \( \dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2} \) (șase triunghiuri).
- Apotema bazei confundată cu raza: \( a_b = \dfrac{l\sqrt{3}}{2} \), iar \( R = l \).
- Uitarea împărțirii la 3 în volum; formula simplificată \( V = \dfrac{l^2\sqrt{3} \cdot h}{2} \) conține deja această împărțire.
Întrebări frecvente
Care este formula volumului piramidei hexagonale regulate? \( V = \dfrac{A_b \cdot h}{3} \), cu \( A_b = \dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2} \), adică \( V = \dfrac{l^2\sqrt{3} \cdot h}{2} \). Pentru \( l = 6 \) cm și \( h = 9 \) cm, \( V = 162\sqrt{3}\ \text{cm}^3 \).
Cât este apotema bazei la piramida hexagonală regulată? \( a_b = \dfrac{l\sqrt{3}}{2} \): este înălțimea unuia dintre cele 6 triunghiuri echilaterale în care diagonalele mari împart hexagonul.
Cum calculez aria laterală a piramidei hexagonale regulate? \( A_l = 3l \cdot a_p \), adică de 6 ori aria unei fețe laterale \( \dfrac{l \cdot a_p}{2} \). Apotema piramidei se află din \( a_p^2 = h^2 + \dfrac{3l^2}{4} \).
Poate avea piramida hexagonală regulată toate muchiile egale? Nu. Din \( m_l^2 = h^2 + l^2 \) rezultă că muchia laterală este mereu mai mare decât latura bazei; dacă ar fi egale, înălțimea ar fi 0 și piramida ar fi plată.
Pagini conexe
- Piramida regulată — formule generale (toate tipurile într-un singur tabel)
- Piramida triunghiulară regulată și tetraedrul regulat
- Piramida patrulateră regulată
- Piramida hexagonală regulată
- Trunchiul de piramidă — ce rămâne după o secțiune paralelă cu baza
- Teorema lui Pitagora
Calculează rapid: calculator arie și volum pentru corpuri geometrice — introduci dimensiunile, primești ariile și volumul cu toți pașii.
Exersează: fișă de lucru — piramida regulată, clasa a 8-a, fișă corpuri geometrice — arii și volume și probleme tip Evaluare Națională — geometrie în spațiu, toate cu răspunsuri.