Bacalaureat 2025 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Aducem la numitorul comun $6$ în paranteză, iar împărțirea la o fracție devine înmulțire cu inversa ei:

$$\frac{3}{2}-\frac{1}{6}=\frac{9}{6}-\frac{1}{6}=\frac{8}{6},$$

$$3\cdot \frac{8}{6}=4,$$

$$2:\frac{1}{2}=2\cdot 2=4.$$

$$3\cdot (\frac{3}{2}-\frac{1}{6})+2:\frac{1}{2}=4+4=8.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $8$.

Vezi și: Fracții — operații.

$$f(1)=5-2=3,$$

$$g(1)=2+7=9.$$

Ecuația devine $3+9=2m$, adică $2m=12$, deci $m=6$.

Răspuns: $m=6$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

Puterile cu aceeași bază $2$ sunt egale doar dacă exponenții sunt egali:

$$-x=2x-6\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2.$$

Răspuns: $x=2$.

Vezi și: Ecuații exponențiale.

Mulțimea $A$ are $20$ de elemente, deci sunt $20$ de cazuri posibile. Numărul $3n+2$ aparține lui $A$ când $3n+2\le 19$, adică $n\le \frac{17}{3}$, deci $n\in \{0,1,2,3,4,5\}$ (obținem $2,5,8,11,14,17$): $6$ cazuri favorabile.

$$p=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.$$

Răspuns: $p={\displaystyle \frac{3}{10}}$.

Vezi și: Probabilități.

$$x_D=\frac{1+5}{2}=3,$$

$$y_D=\frac{0+4}{2}=2,$$

deci $D(3,2)$. Distanța dintre $B(0,6)$ și $D(3,2)$:

$$BD=\sqrt{(3-0{)}^2+(2-6{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$$

Răspuns: $BD=5$.

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte.

Din teorema lui Pitagora:

$$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}.$$

Sinusul unghiului $C$ este cateta opusă supra ipotenuză:

$$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$$

Răspuns: $\sin C={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$.

Vezi și: Teorema lui Pitagora, Triunghiul dreptunghic.

$$0\ast 9=0\cdot 9+90-9\cdot 0-9\cdot 9=90-81=9.$$

Răspuns: $0\ast 9=9$.

Vezi și: Legi de compoziție.

Scriem $90=81+9$ și grupăm termenii:

$$x\ast y=xy-9x-9y+81+9=x(y-9)-9(y-9)+9=(x-9)(y-9)+9,$$

pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Răspuns: $x\ast y=(x-9)(y-9)+9$.

Folosim forma de la II.2:

$$x\ast 10=(x-9)(10-9)+9=x-9+9=x,$$

$$10\ast x=(10-9)(x-9)+9=x-9+9=x,$$

pentru orice număr real $x$, deci $e=10$ este elementul neutru.

Răspuns: $x\ast 10=10\ast x=x$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, deci $e=10$.

Căutăm $x$ cu $\frac{26}{3}\ast x=x\ast \frac{26}{3}=10$. Cu forma de la II.2 (legea este comutativă):

$$(\frac{26}{3}-9)(x-9)+9=10\iff -\frac{1}{3}(x-9)=1\iff x-9=-3.$$

Deci $x=6$. Verificare: $(-\frac{1}{3})\cdot (-3)+9=1+9=10$. ✓

Răspuns: simetricul lui ${\displaystyle \frac{26}{3}}$ este $6$.

Din II.2, pentru orice numere reale $x$ și $y$:

$$x\ast 9=(x-9)\cdot 0+9=9,$$

$$9\ast y=0\cdot (y-9)+9=9,$$

adică $9$ „absoarbe” orice număr. Cum $3^2=9$ și legea este asociativă:

$$3^0\ast 3^1\ast 3^2\ast 3^3\ast 3^4=(3^0\ast 3^1)\ast 9\ast 3^3\ast 3^4=9\ast (3^3\ast 3^4)=9.$$

Răspuns: $3^0\ast 3^1\ast 3^2\ast 3^3\ast 3^4=9$.

Din II.2:

$$(a-9)(b-9)+9=12\iff (a-9)(b-9)=3.$$

$a$ și $b$ sunt cifre, $a\ne 0$, deci $a-9$ și $b-9$ sunt întregi negativi sau zero, cu produsul $3$. Singurele variante sunt $-1$ și $-3$:

• $a-9=-1$, $b-9=-3$: $a=8$, $b=6$;

• $a-9=-3$, $b-9=-1$: $a=6$, $b=8$.

Răspuns: numerele $68$ și $86$.

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

$$M(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& 1\end{array}\right),$$

$$det(M(1))=1\cdot 1-1\cdot (-3)=1+3=4.$$

Răspuns: $det(M(1))=4$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$\begin{array}{rl}3M(4)-M(2)& =3\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -3& -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 2\\ -6& -6\end{array}\right)\\ & =2\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ -3& -3\end{array}\right)=2M(5).\end{array}$$

Răspuns: $3M(4)-M(2)=2M(5)$.

$$det(M(a))=a(2-a)-1\cdot (-3)=-a^2+2a+3,$$

pentru orice număr real $a$. Ecuația devine

$$-a^2+2a+3=0\iff a^2-2a-3=0\iff (a+1)(a-3)=0.$$

Răspuns: $a=-1$ sau $a=3$.

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

$$M(3)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -3& -1\end{array}\right),$$

$$M(3)\cdot M(3)=\left(\begin{array}{cc}9-3& 3-1\\ -9+3& -3+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ -6& -2\end{array}\right)=2M(3).$$

Egalitatea devine $2M(3)=xM(3)$; comparând, de exemplu, elementele de pe prima linie și a doua coloană ($2=x\cdot 1$), obținem $x=2$.

Răspuns: $x=2$.

Din III.1, $det(M(1))=4\ne 0$, deci $M(1)$ este inversabilă:

$$(M(1){)}^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& -\frac{1}{4}\\ \frac{3}{4}& \frac{1}{4}\end{array}\right).$$

Înmulțim ecuația la stânga cu $(M(1){)}^{-1}$: $X=2(M(1){)}^{-1}\cdot M(-1)$, unde $M(-1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -3& 3\end{array}\right)$.

$$X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -3& 3\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -6& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -3& 3\end{array}\right).$$

Verificare: $M(1)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}1-3& -1+3\\ -3-3& 3+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ -6& 6\end{array}\right)=2M(-1)$. ✓

Răspuns: $X=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -3& 3\end{array}\right)$.

Vezi și: Matrice inversabilă — ecuații matriceale.

$$M(m)+m{I}_2=\left(\begin{array}{cc}2m& 1\\ -3& 2\end{array}\right),$$

$$det(M(m)+m{I}_2)=4m+3,$$

$$M(-2m)=\left(\begin{array}{cc}-2m& 1\\ -3& 2+2m\end{array}\right),$$

$$det(M(-2m))=-2m(2+2m)+3=-4m^2-4m+3,$$

pentru orice număr întreg $m$. Inecuația devine

$$4m+3\le -4m^2-4m+3\iff 4m^2+8m\le 0\iff m(m+2)\le 0,$$

adică $m\in [-2,0]$. Cum $m$ este întreg, obținem $m\in \{-2,-1,0\}$.

Răspuns: $m\in \{-2,-1,0\}$.

Vezi și: Inecuații.