Bacalaureat 2025 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Respectăm ordinea operațiilor: paranteza, apoi înmulțirea și împărțirea, la final adunarea:

$$3\cdot 1,2+0,4=3,6+0,4=4.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $4$.

Vezi și: Fracții și numere zecimale.

$$f(3)=2\cdot 3+1=7,$$

$$f(a)=2a+1.$$

Ecuația devine $2a+1=7-a$, adică $3a=6$, deci $a=2$.

Răspuns: $a=2$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

Logaritmii au aceeași bază, deci argumentele sunt egale:

$$5x-12=2x\Rightarrow 3x=12\Rightarrow x=4.$$

Verificăm condițiile de existență: $5\cdot 4-12=8>0$ și $2\cdot 4=8>0$, deci $x=4$ convine.

Răspuns: $x=4$.

Vezi și: Logaritmi, Calculator logaritmi.

Notăm cu $x$ prețul inițial (în lei). După scumpire, prețul este

$$x+\frac{35}{100}\cdot x=54\iff \frac{135}{100}x=54\iff x=\frac{5400}{135}=40.$$

Verificare: $35\mathrm{\%}$ din $40$ înseamnă $14$ lei, iar $40+14=54$. ✓

Răspuns: prețul inițial era $40$ de lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

$$x_M=\frac{2+4}{2}=3,$$

$$y_M=\frac{5+1}{2}=3,$$

deci $M(3,3)$. Calculăm cele două distanțe ($O(0,0)$):

$$OM=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},$$

$$CM=\sqrt{(3-6{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.$$

Răspuns: $OM=CM=3\sqrt{2}$.

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte.

Din $5\cdot 16=4BC$ obținem $BC=20$. Triunghiul este dreptunghic în $A$, deci $BC$ este ipotenuza și aplicăm teorema lui Pitagora:

$$A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2={20}^2-{16}^2=400-256=144\Rightarrow AC=12.$$

Răspuns: $AC=12$.

Vezi și: Teorema lui Pitagora, Calculator Pitagora.

$$0\ast 2=0\cdot 2-6(0+2)+14=0-12+14=2.$$

Răspuns: $0\ast 2=2$.

Vezi și: Legi de compoziție.

Pentru orice numere reale $x$ și $y$, folosind comutativitatea adunării și a înmulțirii numerelor reale:

$$y\ast x=yx-6(y+x)+14=xy-6(x+y)+14=x\ast y.$$

Răspuns: $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$, deci legea este comutativă.

$$x\ast 4=4x-6(x+4)+14=4x-6x-24+14=-2x-10,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine $-2x-10=4$, adică $-2x=14$, deci $x=-7$.

Răspuns: $x=-7$.

Calculăm ambii membri, pentru orice numere naturale $m$ și $n$:

$$(-m)\ast (-n)=mn+6(m+n)+14,$$

$$(m\ast n)+36=mn-6(m+n)+14+36.$$

Egalitatea devine $6(m+n)=-6(m+n)+36$, adică $12(m+n)=36$, deci $m+n=3$.

Cu $m,n$ naturale și $m<n$: $m=0,n=3$ sau $m=1,n=2$.

Răspuns: $(m,n)\in \{(0,3),(1,2)\}$.

Notăm $u=1+3^x$, $v=1-3^x$. Atunci $uv=1-3^{2x}$ și $u+v=2$, deci

$$(1+3^x)\ast (1-3^x)=1-3^{2x}-6\cdot 2+14=-3^{2x}+3,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine

$$-3^{2x}+3=0\iff 3^{2x}=3^1\iff 2x=1\iff x=\frac{1}{2}.$$

Răspuns: $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Vezi și: Ecuații exponențiale.

Pentru $x>0$, $x\cdot \frac{1}{x}=1$ și $x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}{x}$, deci

$$x\ast \frac{1}{x}=1-\frac{6(x^2+1)}{x}+14=12-\frac{6(x^2+1)}{x}+3.$$

Aducem primii doi termeni la același numitor:

$$12-\frac{6(x^2+1)}{x}=\frac{12x-6x^2-6}{x}=-\frac{6(x^2-2x+1)}{x}=-\frac{6(x-1{)}^2}{x}.$$

Deci $x\ast \frac{1}{x}=3-{\displaystyle \frac{6(x-1{)}^2}{x}}$. Cum $(x-1{)}^2\ge 0$ și $x>0$, fracția este $\ge 0$, așa că $x\ast \frac{1}{x}\le 3$ (cu egalitate pentru $x=1$).

Răspuns: $x\ast {\displaystyle \frac{1}{x}}=3-{\displaystyle \frac{6(x-1{)}^2}{x}}\le 3$, pentru orice $x>0$.

$$M(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right),$$

$$det(M(1))=2\cdot 2-3\cdot 1=4-3=1.$$

Răspuns: $det(M(1))=1$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$M(1)+2M(4)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& 24\\ 8& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 27\\ 9& 6\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}2& 9\\ 3& 2\end{array}\right)=3M(3).$$

Răspuns: $M(1)+2M(4)=3M(3)$.

$$M(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 2& 2\end{array}\right),$$

$$M(-2)=\left(\begin{array}{cc}2& -6\\ -2& 2\end{array}\right).$$

$$M(2)\cdot M(-2)=\left(\begin{array}{cc}4-12& -12+12\\ 4-4& -12+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-8& 0\\ 0& -8\end{array}\right)=-8I_2.$$

Din $a{I}_2=-8I_2$ obținem $a=-8$.

Răspuns: $a=-8$.

$$M(-2x)=\left(\begin{array}{cc}2& -6x\\ -2x& 2\end{array}\right),$$

$$M(x)+M(-2x)=\left(\begin{array}{cc}4& -3x\\ -x& 4\end{array}\right).$$

$$det(M(x)+M(-2x))=16-(-3x)(-x)=16-3x^2,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine $16-3x^2=4$, adică $x^2=4$.

Răspuns: $x=-2$ sau $x=2$.

Cu $M(-1)=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right)$:

$$M(x)\cdot M(-1)=\left(\begin{array}{cc}2& 3x\\ x& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-3x& -6+6x\\ 2x-2& -3x+4\end{array}\right).$$

$$M(x)\cdot M(-1)+M(y)=\left(\begin{array}{cc}6-3x& -6+6x+3y\\ 2x-2+y& -3x+6\end{array}\right),$$

$$12M(-1)=\left(\begin{array}{cc}24& -36\\ -12& 24\end{array}\right).$$

Din $6-3x=24$ obținem $x=-6$; apoi $2x-2+y=-12\Rightarrow$ $-14+y=-12\Rightarrow y=2$. Verificare: $-6+6\cdot (-6)+3\cdot 2=-36$ ✓ și $-3\cdot (-6)+6=24$ ✓.

Răspuns: $x=-6$ și $y=2$.

$$2M(1)+n{I}_2=\left(\begin{array}{cc}4+n& 6\\ 2& 4+n\end{array}\right),$$

$$N=(4+n{)}^2-12=n^2+8n+4,$$

pentru orice număr natural $n$. Dacă $n$ este par, $n=2k$ cu $k$ natural, și

$$N=4k^2+16k+4=4(k^2+4k+1),$$

iar $k^2+4k+1$ este număr natural.

Răspuns: $N=4(k^2+4k+1)$, deci $N$ este multiplu de $4$ pentru orice $n$ par.