Simulare Bac 2022 M4 pedagogic

Q: Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2022 M4?

De obicei II.5: compunerea n*n*n dă ((n-1)³)/(9)+1, iar inecuația se reduce la (n-1)(n-4)(n+2)≤0, de unde cel mai mare număr natural este 4.

Subiectul oficial de la simularea națională a Bacalaureatului 2022, proba E.c) Matematică M_pedagogic (M4), susținută de elevii de clasa a XII-a marți, 29 martie 2022, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Subiectul este pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Timpul de lucru este de 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte (câte 6 itemi de 5 puncte), plus 10 puncte din oficiu. Simularea nu contează la nota finală de la Bacalaureat, dar are exact structura examenului din iunie. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică.

Ai rezolvat? Verifică doar răspunsurile finale ↓

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · progresie aritmetică)

Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice

(a_{n})_{n \geq 1}

, știind că

a_{1} = 3

și

r = 2

Vezi rezolvarea

$a_{3} = a_{1} + 2 r = 3 + 4 = 7,$

$S_{3} = \frac{(a_{1} + a_{3}) \cdot 3}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15.$

Verificare: $3 + 5 + 7 = 15$ . ✓

Răspuns: $S_{3} = 15$ .

Vezi și: Progresia aritmetică.

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = (1 - 2 a) x + 1

, unde

a

este număr real. Determinați numărul real

a

pentru care

f (1) = f (- 1)

Vezi rezolvarea

$f (1) = 1 - 2 a + 1 = 2 - 2 a,$

$f (- 1) = - (1 - 2 a) + 1 = 2 a .$

$2 - 2 a = 2 a \Rightarrow 4 a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2} .$

Răspuns: $a = \frac{1}{2}$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

1 + \log_{2} (2 x + 1) = \log_{2} 4

Vezi rezolvarea

Condiția de existență: $2 x + 1 > 0$ , adică $x > - \frac{1}{2}$ . Cum $\log_{2} 4 = 2$ :

$1 + \log_{2} (2 x + 1) = 2 \Rightarrow \log_{2} (2 x + 1) = 1 \Rightarrow 2 x + 1 = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2},$

care convine.

Răspuns: $x = \frac{1}{2}$ .

Vezi și: Logaritmi, Calculator logaritmi.

Subiectul I.4 (5p · probabilități)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie pătrat perfect.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de o cifră sunt $0, 1, 2, \dots, 9$ , deci sunt $10$ cazuri posibile. Dintre ele, pătrate perfecte sunt $0, 1, 4, 9$ , deci $4$ cazuri favorabile.

$P = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} .$

Răspuns: $P = \frac{2}{5}$ .

Vezi și: Probabilități.

Subiectul I.5 (5p · lungimea medianei)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (1, 4)

B (- 3, 2)

și

C (5, 2)

. Determinați lungimea medianei triunghiului

A B C

construită din vârful

A

Vezi rezolvarea

Mediana din $A$ este $A M$ , unde $M$ este mijlocul laturii $B C$ :

$x_{M} = \frac{- 3 + 5}{2} = 1,$

$y_{M} = \frac{2 + 2}{2} = 2.$

$A M = \sqrt{(1 - 1)^{2} + (2 - 4)^{2}} = \sqrt{4} = 2.$

Răspuns: lungimea medianei este $A M = 2$ .

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte.

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Calculați

\sqrt{3} \cdot \sin 60^{\circ} \cdot \sin 45^{\circ} - 3 \cdot \sin 30^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ}

Vezi rezolvarea

$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}, \sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

$\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{4} - \frac{3 \sqrt{2}}{4} = 0.$

Răspuns: rezultatul este $0$ .

Vezi și: Tabel trigonometric.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = - \frac{(x - 1) (y - 1)}{3} + 1$ .

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Arătați că

3 * 4 = - 1

Vezi rezolvarea

$3 * 4 = - \frac{(3 - 1) (4 - 1)}{3} + 1 = - \frac{2 \cdot 3}{3} + 1 = - 2 + 1 = - 1.$

Răspuns: $3 * 4 = - 1$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 (5p · element neutru)

Verificați dacă

e = - 2

este elementul neutru al legii de compoziție „

*

”.

Vezi rezolvarea

Pentru orice număr real $x$ :

$x * (- 2) = - \frac{(x - 1) \cdot (- 3)}{3} + 1 = x - 1 + 1 = x,$

$(- 2) * x = - \frac{(- 3) \cdot (x - 1)}{3} + 1 = x .$

Răspuns: da, $x * (- 2) = (- 2) * x = x$ pentru orice $x \in R$ , deci $e = - 2$ este elementul neutru.

Vezi și: Legi de compoziție — element neutru.

Subiectul II.3 (5p · ecuație)

Determinați numărul real

a

pentru care

a * 7 = 5

Vezi rezolvarea

$a * 7 = - \frac{(a - 1) (7 - 1)}{3} + 1 = - 2 (a - 1) + 1.$

$- 2 (a - 1) + 1 = 5 \Rightarrow a - 1 = - 2 \Rightarrow a = - 1.$

Răspuns: $a = - 1$ .

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Subiectul II.4 (5p · inecuație de gradul II)

Determinați valorile reale ale lui

x

pentru care

x * (1 + x) \geq - 3

Vezi rezolvarea

$x * (1 + x) = - \frac{(x - 1) (1 + x - 1)}{3} + 1 = - \frac{x (x - 1)}{3} + 1.$

$- \frac{x (x - 1)}{3} + 1 \geq - 3 \Leftrightarrow x (x - 1) \leq 12 \Leftrightarrow x^{2} - x - 12 \leq 0.$

Rădăcinile ecuației $x^{2} - x - 12 = 0$ sunt $- 3$ și $4$ ; trinomul este negativ sau zero între rădăcini.

Răspuns: $x \in [- 3, 4]$ .

Vezi și: Inecuații de gradul II.

Subiectul II.5 (5p · inecuație în $N$ )

Determinați cel mai mare număr natural

n

pentru care

n * n * n \leq n

Vezi rezolvarea

$n * n = - \frac{(n - 1)^{2}}{3} + 1,$

$n * n * n = (n * n) * n = - \frac{(- \frac{(n - 1)^{2}}{3}) (n - 1)}{3} + 1 = \frac{(n - 1)^{3}}{9} + 1.$

Inecuația devine

$\begin{aligned} \frac{(n - 1)^{3}}{9} + 1 \leq n & \Leftrightarrow \frac{(n - 1)^{3} - 9 (n - 1)}{9} \leq 0 \\ \Leftrightarrow \frac{(n - 1) (n - 4) (n + 2)}{9} \leq 0. \end{aligned}$

Pentru $n$ natural, $n + 2 > 0$ , deci trebuie $(n - 1) (n - 4) \leq 0$ , adică $n \in {1, 2, 3, 4}$ . Cel mai mare este $n = 4$ .

Răspuns: $n = 4$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.6 (5p · ecuație în numere naturale)

Determinați perechile

(m, n)

de numere naturale pentru care

m * n = - 1

Vezi rezolvarea

$- \frac{(m - 1) (n - 1)}{3} + 1 = - 1 \Rightarrow (m - 1) (n - 1) = 6.$

Pentru $m, n$ naturale, $m - 1 \geq - 1$ și $n - 1 \geq - 1$ ; ca produsul să fie $6$ , ambii factori trebuie să fie divizori pozitivi ai lui $6$ (doi factori negativi ar fi ambii egali cu $- 1$ , cu produsul $1$ ). Deci ${m - 1, n - 1}$ este ${1, 6}$ sau ${2, 3}$ .

Răspuns: $(m, n) \in {(2, 7), (3, 4), (4, 3), (7, 2)}$ .

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $A = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & - 2 \end{matrix})$ și $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ .

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Arătați că

det (A) = - 7

Vezi rezolvarea

$det A = | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & - 2 \end{matrix} | = 2 \cdot (- 2) - 1 \cdot 3 = - 4 - 3 = - 7.$

Răspuns: $det A = - 7$ .

Vezi și: Determinanți.

Subiectul III.2 (5p · inegalitate cu determinant)

Arătați că

det (A + x I_{2}) \geq - 7

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

$A + x I_{2} = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & - 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} x & 0 \\ 0 & x \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 + x & 3 \\ 1 & - 2 + x \end{matrix}) .$

$det (A + x I_{2}) = (x + 2) (x - 2) - 3 = x^{2} - 7.$

Cum $x^{2} \geq 0$ pentru orice $x$ real, $x^{2} - 7 \geq - 7$ .

Răspuns: $det (A + x I_{2}) = x^{2} - 7 \geq - 7$ pentru orice $x \in R$ .

Vezi și: Determinanți.

Subiectul III.3 (5p · pătratul unei matrice)

Determinați numărul real

a

pentru care

A \cdot A = a I_{2}

Vezi rezolvarea

$A \cdot A = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & - 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 + 3 & 6 - 6 \\ 2 - 2 & 3 + 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix}) .$

Din $(\begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & a \end{matrix})$ rezultă $a = 7$ .

Răspuns: $a = 7$ .

Vezi și: Matrice — operații.

Subiectul III.4 (5p · ecuație de gradul II)

Determinați numerele reale

m

pentru care

det (m A - I_{2}) = m \cdot det (A + I_{2})

Vezi rezolvarea

$m A - I_{2} = (\begin{matrix} 2 m - 1 & 3 m \\ m & - 2 m - 1 \end{matrix}),$

$det (m A - I_{2}) = - (4 m^{2} - 1) - 3 m^{2} = 1 - 7 m^{2} .$

$A + I_{2} = (\begin{matrix} 3 & 3 \\ 1 & - 1 \end{matrix}),$

$det (A + I_{2}) = - 3 - 3 = - 6.$

$1 - 7 m^{2} = - 6 m \Leftrightarrow 7 m^{2} - 6 m - 1 = 0 \Leftrightarrow (7 m + 1) (m - 1) = 0.$

Răspuns: $m = - \frac{1}{7}$ sau $m = 1$ .

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

Subiectul III.5 (5p · matrice care comută)

Se consideră matricea

M = (\begin{matrix} x & y \\ y & x \end{matrix}) \in M_{2} (R)

, astfel încât

A \cdot M = M \cdot A

. Arătați că

y = 0

Vezi rezolvarea

$A \cdot M = (\begin{matrix} 2 x + 3 y & 3 x + 2 y \\ x - 2 y & - 2 x + y \end{matrix}),$

$M \cdot A = (\begin{matrix} 2 x + y & 3 x - 2 y \\ x + 2 y & - 2 x + 3 y \end{matrix}) .$

Egalând elementele de pe poziția (1,1): $2 x + 3 y = 2 x + y \Rightarrow 2 y = 0 \Rightarrow y = 0$ . Pentru $y = 0$ și celelalte elemente sunt egale, deci condiția se verifică.

Răspuns: $y = 0$ .

Vezi și: Matrice — înmulțire.

Subiectul III.6 (5p · determinantul lui $a A$ )

Determinați pentru câte valori întregi ale lui

a

obținem

det (a A) \geq - 28

Vezi rezolvarea

Pentru o matrice de ordinul 2, $det (a A) = a^{2} det A = - 7 a^{2}$ .

$- 7 a^{2} \geq - 28 \Rightarrow a^{2} \leq 4 \Rightarrow - 2 \leq a \leq 2.$

Cum $a \in Z$ , obținem $a \in {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ .

Răspuns: $5$ valori întregi.

Vezi și: Proprietățile determinanților.

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$15$
I.2	$a = \frac{1}{2}$
I.3	$x = \frac{1}{2}$
I.4	$P = \frac{2}{5}$
I.5	$A M = 2$
I.6	$0$
II.1–II.3	1) $- 1$ ; 2) da, $e = - 2$ ; 3) $a = - 1$
II.4–II.6	4) $x \in [- 3, 4]$ ; 5) $n = 4$ ; 6) $(2, 7), (3, 4), (4, 3), (7, 2)$
III.1–III.3	1) $- 7$ ; 2) $x^{2} - 7 \geq - 7$ ; 3) $a = 7$
III.4–III.6	4) $m = - \frac{1}{7}$ sau $m = 1$ ; 5) $y = 0$ ; 6) $5$ valori

Ce s-a cerut la simularea Bac 2022 M4

Subiectul I a cuprins o progresie aritmetică, o funcție de gradul I, o ecuație logaritmică, o probabilitate, lungimea unei mediane în reperul cartezian și valori din tabelul trigonometric. Subiectul al II-lea a fost despre legea de compoziție $x * y = - \frac{(x - 1) (y - 1)}{3} + 1$ (element neutru, ecuații și inecuații), iar Subiectul al III-lea despre matrice și determinanți.

Subiectul și baremul oficial au fost publicate de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație pe subiecte.edu.ro, în secțiunea simulării Bacalaureatului 2022 pentru clasa a XII-a.

Întrebări frecvente

Contează simularea Bac 2022 la nota finală? Nu. Simularea din martie 2022 (29 martie pentru matematică) a fost o testare de exercițiu pentru elevii de clasa a XII-a: nota obținută nu intră în media de la Bacalaureat. Ea arată însă foarte bine nivelul subiectului din iunie, pentru că are aceeași structură și același tip de barem.

Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2022 M4? De obicei II.5: compunerea $n * n * n$ dă $\frac{(n - 1)^{3}}{9} + 1$ , iar inecuația se reduce la $(n - 1) (n - 4) (n + 2) \leq 0$ , de unde cel mai mare număr natural este $4$ .

Alte subiecte

Bac 2022 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Simulare Bac 2023 M4 pedagogic rezolvată · Simulare Bac 2021 M4 pedagogic rezolvată

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Simulare Bac 2022 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · progresie aritmetică)

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)

Subiectul I.4 (5p · probabilități)

Subiectul I.5 (5p · lungimea medianei)

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Subiectul II.2 (5p · element neutru)

Subiectul II.3 (5p · ecuație)

Subiectul II.4 (5p · inecuație de gradul II)

Subiectul II.5 (5p · inecuație în $N$ )

Subiectul II.6 (5p · ecuație în numere naturale)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Subiectul III.2 (5p · inegalitate cu determinant)

Subiectul III.3 (5p · pătratul unei matrice)

Subiectul III.4 (5p · ecuație de gradul II)

Subiectul III.5 (5p · matrice care comută)

Subiectul III.6 (5p · determinantul lui $a A$ )

Răspunsuri pe scurt

Ce s-a cerut la simularea Bac 2022 M4

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe

Simulare Bac 2022 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · progresie aritmetică)

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)

Subiectul I.4 (5p · probabilități)

Subiectul I.5 (5p · lungimea medianei)

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Subiectul II.2 (5p · element neutru)

Subiectul II.3 (5p · ecuație)

Subiectul II.4 (5p · inecuație de gradul II)

Subiectul II.5 (5p · inecuație în N)

Subiectul II.6 (5p · ecuație în numere naturale)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Subiectul III.2 (5p · inegalitate cu determinant)

Subiectul III.3 (5p · pătratul unei matrice)

Subiectul III.4 (5p · ecuație de gradul II)

Subiectul III.5 (5p · matrice care comută)

Subiectul III.6 (5p · determinantul lui aA)

Răspunsuri pe scurt

Ce s-a cerut la simularea Bac 2022 M4

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe

Subiectul II.5 (5p · inecuație în $N$ )

Subiectul III.6 (5p · determinantul lui $a A$ )