Simulare Bac 2021 M4 pedagogic

Q: Contează simularea Bac 2021 la nota finală?

Nu. Simularea din martie 2021 (23 martie pentru matematică) a fost o testare de exercițiu pentru elevii de clasa a XII-a: nota obținută nu intră în media de la Bacalaureat. Ea arată însă foarte bine nivelul subiectului din iunie, pentru că are aceeași structură și același tip de barem.

Q: Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează?

Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Q: Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem?

Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Q: Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2021 M4?

De obicei II.6: m*n*p=((m-1)(n-1)(p-1))/(4)+1, iar ecuația devine (m-1)(n-1)(p-1)=28, cu factori naturali distincți în ordine crescătoare.

Subiectul oficial de la simularea națională a Bacalaureatului 2021, proba E.c) Matematică M_pedagogic (M4), susținută de elevii de clasa a XII-a marți, 23 martie 2021, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Subiectul este pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Timpul de lucru este de 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte (câte 6 itemi de 5 puncte), plus 10 puncte din oficiu. Simularea nu contează la nota finală de la Bacalaureat, dar are exact structura examenului din iunie. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică.

Ai rezolvat? Verifică doar răspunsurile finale ↓

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · progresie aritmetică)

Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice

(a_{n})_{n \geq 1}

, știind că

a_{1} = \frac{1}{2}

și

a_{4} = 5

Vezi rezolvarea

Din $a_{4} = a_{1} + 3 r$ aflăm rația:

$5 = \frac{1}{2} + 3 r \Leftrightarrow r = \frac{3}{2} .$

$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 3 a_{1} + 3 r = \frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 6.$

Verificare: $\frac{1}{2} + 2 + \frac{7}{2} = 6$ . ✓

Răspuns: suma este $6$ .

Vezi și: Progresia aritmetică.

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = a x + a - 2

, unde

a

este număr real. Determinați numărul real

a

pentru care

f (1) + f (- 2) = 0

Vezi rezolvarea

$f (1) = a + a - 2 = 2 a - 2,$

$f (- 2) = - 2 a + a - 2 = - a - 2.$

$2 a - 2 - a - 2 = 0 \Rightarrow a - 4 = 0 \Rightarrow a = 4.$

Răspuns: $a = 4$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

1 + \log_{6} (2 x + 6) = 3

Vezi rezolvarea

Condiția de existență: $2 x + 6 > 0$ , adică $x > - 3$ .

$\log_{6} (2 x + 6) = 2 \Rightarrow 2 x + 6 = 6^{2} = 36 \Rightarrow x = 15,$

care convine.

Răspuns: $x = 15$ .

Vezi și: Logaritmi, Calculator logaritmi.

Subiectul I.4 (5p · probabilități)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să poată fi scris sub forma

n^{3}

, unde

n

este număr natural.

Vezi rezolvarea

Sunt $10$ numere naturale de o cifră ( $0, 1, \dots, 9$ ), deci $10$ cazuri posibile. Dintre ele se scriu ca cub al unui număr natural $0 = 0^{3}$ , $1 = 1^{3}$ și $8 = 2^{3}$ , deci $3$ cazuri favorabile.

$p = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile} = \frac{3}{10} .$

Răspuns: $p = \frac{3}{10}$ .

Vezi și: Probabilități.

Subiectul I.5 (5p · ecuația unei drepte)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (0, 2)

B (0, 6)

C (4, 2)

și punctul

D

, mijlocul segmentului

B C

. Determinați ecuația dreptei

A D

Vezi rezolvarea

$x_{D} = \frac{0 + 4}{2} = 2,$

$y_{D} = \frac{6 + 2}{2} = 4,$

deci $D (2, 4)$ . Panta dreptei $A D$ este $m = \frac{4 - 2}{2 - 0} = 1$ , iar dreapta trece prin $A (0, 2)$ :

$y - 2 = 1 \cdot (x - 0) \Leftrightarrow y = x + 2.$

Răspuns: $A D : y = x + 2$ .

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Ecuația dreptei.

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Calculați

2 \sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ} - \cos 120^{\circ}

Vezi rezolvarea

$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}, \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}, \cos 120^{\circ} = - \frac{1}{2} .$

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.$

Răspuns: rezultatul este $1$ .

Vezi și: Tabel trigonometric.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \frac{(x - 1) (y - 1)}{2} + 1$ .

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Arătați că

2 * (- 5) = - 2

Vezi rezolvarea

$2 * (- 5) = \frac{(2 - 1) (- 5 - 1)}{2} + 1 = - 3 + 1 = - 2.$

Răspuns: $2 * (- 5) = - 2$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 (5p · element neutru)

Verificați dacă

e = 3

este elementul neutru al legii de compoziție „

*

”.

Vezi rezolvarea

Pentru orice număr real $x$ :

$x * 3 = \frac{(x - 1) (3 - 1)}{2} + 1 = x - 1 + 1 = x,$

$3 * x = \frac{(3 - 1) (x - 1)}{2} + 1 = x .$

Răspuns: da, $x * 3 = 3 * x = x$ pentru orice $x \in R$ , deci $e = 3$ este elementul neutru.

Vezi și: Legi de compoziție — element neutru.

Subiectul II.3 (5p · ecuație)

Determinați numărul real

a

pentru care

a * 5 = 3

Vezi rezolvarea

$a * 5 = \frac{(a - 1) \cdot 4}{2} + 1 = 2 (a - 1) + 1 = 2 a - 1.$

$2 a - 1 = 3 \Rightarrow a = 2.$

Răspuns: $a = 2$ .

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Subiectul II.4 (5p · inecuație de gradul II)

Determinați valorile reale ale lui

x

pentru care

x * (1 - x) \geq - 5

Vezi rezolvarea

$x * (1 - x) = \frac{(x - 1) (1 - x - 1)}{2} + 1 = \frac{- x (x - 1)}{2} + 1 = \frac{- x^{2} + x + 2}{2} .$

$\frac{- x^{2} + x + 2}{2} \geq - 5 \Leftrightarrow - x^{2} + x + 12 \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} - x - 12 \leq 0.$

Rădăcinile sunt $- 3$ și $4$ , iar trinomul $x^{2} - x - 12$ este negativ sau zero între ele.

Răspuns: $x \in [- 3, 4]$ .

Vezi și: Inecuații de gradul II.

Subiectul II.5 (5p · numere pare)

Arătați că există o infinitate de numere naturale

n

pentru care numărul

N = (\sqrt{n} + 1) * (\sqrt{n} + 1)

este natural par.

Vezi rezolvarea

Pentru orice număr natural $n$ :

$N = \frac{(\sqrt{n} + 1 - 1) (\sqrt{n} + 1 - 1)}{2} + 1 = \frac{n}{2} + 1.$

De exemplu, pentru $n = 4 k + 2$ , unde $k \in N$ , obținem

$N = \frac{4 k + 2}{2} + 1 = 2 k + 2 = 2 (k + 1),$

care este număr natural par. Cum $k$ poate lua o infinitate de valori, există o infinitate de astfel de numere $n$ (de exemplu $2, 6, 10, 14, \dots$ ).

Răspuns: $N = \frac{n}{2} + 1$ ; pentru $n = 4 k + 2$ , $k \in N$ , $N = 2 (k + 1)$ este natural par.

Vezi și: Radicali.

Subiectul II.6 (5p · ecuație în numere naturale)

Determinați tripletele

(m, n, p)

de numere naturale, cu

m < n < p

, pentru care

m * n * p = 8

Vezi rezolvarea

Cum $m * n - 1 = \frac{(m - 1) (n - 1)}{2}$ , avem, pentru orice numere naturale $m$ , $n$ și $p$ :

$m * n * p = (m * n) * p = \frac{(m - 1) (n - 1) (p - 1)}{4} + 1.$

$\frac{(m - 1) (n - 1) (p - 1)}{4} + 1 = 8 \Leftrightarrow (m - 1) (n - 1) (p - 1) = 28.$

Dacă $m = 0$ , atunci $n \geq 1$ , $p \geq 2$ , iar produsul ar fi $\leq 0$ ; dacă $m = 1$ , produsul este $0$ . Deci $m \geq 2$ și $1 \leq m - 1 < n - 1 < p - 1$ sunt divizori ai lui $28$ cu produsul $28$ : $28 = 1 \cdot 2 \cdot 14 = 1 \cdot 4 \cdot 7$ (alte scrieri cu factori distincți în ordine crescătoare nu există).

Răspuns: $(m, n, p) = (2, 3, 15)$ sau $(m, n, p) = (2, 5, 8)$ .

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $A = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$ , $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ și $B (n) = \underset{de n ori A}{\underset{⏟}{A \cdot A \cdot \dots \cdot A}}$ , unde $n$ este număr natural nenul.

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Arătați că

det A = 4

Vezi rezolvarea

$det A = | \begin{matrix} 1 & 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix} | = 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 3 = 1 + 3 = 4.$

Răspuns: $det A = 4$ .

Vezi și: Determinanți.

Subiectul III.2 (5p · inegalitate cu determinant)

Arătați că

det (A + x I_{2}) \geq 3

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

$A + x I_{2} = (\begin{matrix} 1 + x & 3 \\ - 1 & 1 + x \end{matrix}),$

$det (A + x I_{2}) = (1 + x) (1 + x) - 3 \cdot (- 1) = (1 + x)^{2} + 3 \geq 3,$

pentru orice număr real $x$ , deoarece $(1 + x)^{2} \geq 0$ .

Răspuns: $det (A + x I_{2}) = (1 + x)^{2} + 3 \geq 3$ .

Vezi și: Determinanți.

Subiectul III.3 (5p · puterea a treia a unei matrice)

Arătați că există un număr real

a

, astfel încât

B (3) = a I_{2}

Vezi rezolvarea

$A \cdot A = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 & 6 \\ - 2 & - 2 \end{matrix}),$

$B (3) = (A \cdot A) \cdot A = (\begin{matrix} - 2 & 6 \\ - 2 & - 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 & 0 \\ 0 & - 8 \end{matrix}) = - 8 I_{2} .$

Răspuns: $B (3) = - 8 I_{2}$ , deci $a = - 8$ .

Vezi și: Matrice — puteri.

Subiectul III.4 (5p · ecuație de gradul II)

Determinați numerele reale

m

pentru care

det (2 m A + I_{2}) + 2 m det (A - I_{2}) = 0

Vezi rezolvarea

$det (2 m A + I_{2}) = | \begin{matrix} 2 m + 1 & 6 m \\ - 2 m & 2 m + 1 \end{matrix} | = (2 m + 1)^{2} + 12 m^{2} = 16 m^{2} + 4 m + 1.$

$A - I_{2} = (\begin{matrix} 0 & 3 \\ - 1 & 0 \end{matrix}),$

$2 m det (A - I_{2}) = 2 m \cdot 3 = 6 m .$

$16 m^{2} + 10 m + 1 = 0, Δ = 100 - 64 = 36, m = \frac{- 10 \pm 6}{32} .$

Răspuns: $m = - \frac{1}{2}$ sau $m = - \frac{1}{8}$ .

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

Subiectul III.5 (5p · matrice care comută)

Se consideră matricea

M = (\begin{matrix} x & y \\ z & t \end{matrix}) \in M_{2} (R)

, astfel încât

A \cdot M = M \cdot A

. Arătați că

x + y + 3 z - t = 0

Vezi rezolvarea

$A \cdot M = (\begin{matrix} x + 3 z & y + 3 t \\ - x + z & - y + t \end{matrix}),$

$M \cdot A = (\begin{matrix} x - y & 3 x + y \\ z - t & 3 z + t \end{matrix}) .$

Din egalitatea elementelor de pe pozițiile (1,1) și (2,1): $x + 3 z = x - y \Rightarrow 3 z = - y$ și $- x + z = z - t \Rightarrow t = x$ . Atunci

$x + y + 3 z - t = x + y - y - x = 0.$

Răspuns: $3 z = - y$ și $t = x$ , deci $x + y + 3 z - t = 0$ .

Vezi și: Matrice — înmulțire.

Subiectul III.6 (5p · puteri de matrice)

Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul

n

, matricea

B (6 n)

are toate elementele numere naturale.

Vezi rezolvarea

Din III.3, $B (3) = - 8 I_{2}$ . Grupăm cei $6 n$ factori $A$ câte trei:

$B (6 n) = \underset{de 2 n ori}{\underset{⏟}{B (3) \cdot B (3) \cdot \dots \cdot B (3)}} = (- 8)^{2 n} I_{2} = 64^{n} I_{2} .$

Deci $B (6 n) = (\begin{matrix} 64^{n} & 0 \\ 0 & 64^{n} \end{matrix})$ , iar $64^{n}$ și $0$ sunt numere naturale.

Răspuns: $B (6 n) = 64^{n} I_{2}$ , cu toate elementele numere naturale.

Vezi și: Puteri.

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$6$
I.2	$a = 4$
I.3	$x = 15$
I.4	$p = \frac{3}{10}$
I.5	$y = x + 2$
I.6	$1$
II.1–II.3	1) $- 2$ ; 2) da, $e = 3$ ; 3) $a = 2$
II.4–II.6	4) $x \in [- 3, 4]$ ; 5) $n = 4 k + 2$ ; 6) $(2, 3, 15)$ , $(2, 5, 8)$
III.1–III.3	1) $4$ ; 2) $(1 + x)^{2} + 3 \geq 3$ ; 3) $a = - 8$
III.4–III.6	4) $m = - \frac{1}{2}$ sau $m = - \frac{1}{8}$ ; 5) adevărat; 6) $B (6 n) = 64^{n} I_{2}$

Ce s-a cerut la simularea Bac 2021 M4

Subiectul I a cuprins o progresie aritmetică, o funcție de gradul I, o ecuație logaritmică, o probabilitate, ecuația unei drepte și valori din tabelul trigonometric. Subiectul al II-lea a fost despre legea de compoziție $x * y = \frac{(x - 1) (y - 1)}{2} + 1$ (element neutru, ecuații în numere naturale), iar Subiectul al III-lea despre matrice și determinanți, cu puteri ale unei matrice.

Subiectul și baremul oficial au fost publicate de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație pe subiecte.edu.ro, în secțiunea simulării Bacalaureatului 2021 pentru clasa a XII-a.

Întrebări frecvente

Contează simularea Bac 2021 la nota finală? Nu. Simularea din martie 2021 (23 martie pentru matematică) a fost o testare de exercițiu pentru elevii de clasa a XII-a: nota obținută nu intră în media de la Bacalaureat. Ea arată însă foarte bine nivelul subiectului din iunie, pentru că are aceeași structură și același tip de barem.

Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2021 M4? De obicei II.6: $m * n * p = \frac{(m - 1) (n - 1) (p - 1)}{4} + 1$ , iar ecuația devine $(m - 1) (n - 1) (p - 1) = 28$ , cu factori naturali distincți în ordine crescătoare.

Alte subiecte

Bac 2021 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Simulare Bac 2023 M4 pedagogic rezolvată · Simulare Bac 2022 M4 pedagogic rezolvată

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Simulare Bac 2021 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · progresie aritmetică)

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)

Subiectul I.4 (5p · probabilități)

Subiectul I.5 (5p · ecuația unei drepte)

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Subiectul II.2 (5p · element neutru)

Subiectul II.3 (5p · ecuație)

Subiectul II.4 (5p · inecuație de gradul II)

Subiectul II.5 (5p · numere pare)

Subiectul II.6 (5p · ecuație în numere naturale)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Subiectul III.2 (5p · inegalitate cu determinant)

Subiectul III.3 (5p · puterea a treia a unei matrice)

Subiectul III.4 (5p · ecuație de gradul II)

Subiectul III.5 (5p · matrice care comută)

Subiectul III.6 (5p · puteri de matrice)

Răspunsuri pe scurt

Ce s-a cerut la simularea Bac 2021 M4

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe