Bacalaureat 2023 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Scoatem factorii de sub radical și desfacem paranteza:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2},$$

$$5(\sqrt{2}-1)=5\sqrt{2}-5.$$

$$\sqrt{50}-5(\sqrt{2}-1)=5\sqrt{2}-5\sqrt{2}+5=5.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $5$.

Vezi și: Radicali — reguli de calcul.

$$f(1)=1-3+a=a-2,$$

$$f(2)=4-6+a=a-2,$$

pentru orice număr real $a$, deci $f(1)=f(2)$.

Răspuns: $f(1)=f(2)=a-2$, pentru orice număr real $a$.

Vezi și: Funcția de gradul al II-lea.

Condiții de existență: $x+2>0$ și $4-x>0$, adică $x\in (-2,4)$.

Logaritmii în aceeași bază sunt egali doar dacă argumentele sunt egale:

$$x+2=4-x\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1.$$

Cum $1\in (-2,4)$, soluția convine.

Răspuns: $x=1$.

Vezi și: Logaritmi.

Cazuri posibile: numerele naturale de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$, adică $90$ de numere.

Cazuri favorabile: $8=1\cdot 8=2\cdot 4=4\cdot 2=8\cdot 1$, deci numerele $18$, $24$, $42$ și $81$: $4$ cazuri favorabile.

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}.$$

Răspuns: $p={\displaystyle \frac{2}{45}}$.

Vezi și: Probabilități.

Coordonatele mijlocului unui segment sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor:

$$x_A=\frac{1+5}{2}=3\text{(adevărat)},$$

$$y_A=\frac{0+2}{2}=1.$$

Deci $a=1$.

Răspuns: $a=1$.

Vezi și: Mijlocul unui segment.

$$\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2},\cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}.$$

$$\frac{1}{2}+\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}=2.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $2$.

Vezi și: Tabel trigonometric.

$$3\ast 0=3(4-3-0)+3\cdot 0=3\cdot 1+0=3.$$

Răspuns: $3\ast 0=3$.

Vezi și: Legi de compoziție.

Desfacem paranteza și grupăm termenii, scriind $12=9+3$:

$$\begin{array}{rl}x\ast y& =12-3x-3y+xy=xy-3x-3y+9+3\\ & =x(y-3)-3(y-3)+3=(x-3)(y-3)+3,\end{array}$$

pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Răspuns: $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$.

Folosim forma de la II.2:

$$x\ast 4=(x-3)(4-3)+3=x-3+3=x,$$

$$4\ast x=(4-3)(x-3)+3=x,$$

pentru orice număr real $x$, deci $e=4$ este elementul neutru.

Răspuns: $x\ast 4=4\ast x=x$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, deci $e=4$.

Vezi și: Element neutru.

Trebuie să arătăm că rezultatul compunerii, în ambele ordini, este elementul neutru $e=4$:

$$\frac{7}{3}\ast \frac{3}{2}=(\frac{7}{3}-3)(\frac{3}{2}-3)+3=(-\frac{2}{3})(-\frac{3}{2})+3=1+3=4,$$

iar, analog, $\frac{3}{2}\ast \frac{7}{3}=(-\frac{3}{2})(-\frac{2}{3})+3=4$.

Răspuns: $\frac{7}{3}\ast \frac{3}{2}=\frac{3}{2}\ast \frac{7}{3}=4=e$, deci $\frac{7}{3}$ este simetricul lui $\frac{3}{2}$.

$$9^x\ast 3^x=(9^x-3)(3^x-3)+3,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine $(3^{2x}-3)(3^x-3)=0$:

$$3^{2x}=3\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2},$$

$$3^x=3\Rightarrow x=1.$$

Răspuns: $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sau $x=1$.

Vezi și: Ecuații exponențiale.

Pentru orice număr real $x$: $3\ast x=(3-3)(x-3)+3=0+3=3$. Deci $3$ „absoarbe” orice element.

Legea fiind asociativă, grupăm toți factorii de după $3$:

$$3\ast 4\ast 5\ast \dots \ast 2023=3\ast (4\ast 5\ast \dots \ast 2023)=3.$$

Răspuns: $3\ast 4\ast 5\ast \dots \ast 2023=3$.

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

$$det(B(0))=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=2\cdot 0-1\cdot 1=0-1=-1.$$

Răspuns: $det(B(0))=-1$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant.

$$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1+4& -2+2\\ -2+2& 4+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)=5I_2.$$

Răspuns: $A\cdot A=5I_2$.

$$B(a)+A=\left(\begin{array}{cc}a+1& 3\\ 3& a+1\end{array}\right),$$

$$det(B(a)+A)=(a+1{)}^2-3^2.$$

Din $(a+1{)}^2=9$ rezultă $a+1=3$ sau $a+1=-3$.

Răspuns: $a=2$ sau $a=-4$.

$B(-2)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$, deci, pentru orice număr real $a$,

$$B(a)\cdot B(-2)=\left(\begin{array}{cc}a+2& 1\\ 1& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& 1-2a\end{array}\right).$$

Cum $B(0)-I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$, egalitatea cere $a=1$ și $1-2a=-1$, adică $a=1$.

Răspuns: $a=1$.

$$det(B(a-1))=\left|\begin{array}{cc}a+1& 1\\ 1& a-1\end{array}\right|=(a+1)(a-1)-1=a^2-2,$$

pentru orice număr real $a$. Dacă $a^2-2=0$, atunci $a=\pm \sqrt{2}$, care nu sunt numere raționale. Deci, pentru $a\in \mathbb{Q}$, $det(B(a-1))\ne 0$ și matricea este inversabilă.

Răspuns: $det(B(a-1))=a^2-2\ne 0$ pentru orice $a\in \mathbb{Q}$, deci $B(a-1)$ este inversabilă.

Vezi și: Matrice inversabilă.

Din III.1, $det(B(0))=-1\ne 0$, deci $B(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ este inversabilă și

$$(B(0){)}^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right).$$

Înmulțim ecuația la dreapta cu $(B(0){)}^{-1}$:

$$X=A\cdot (B(0){)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ 1& 0\end{array}\right).$$

Verificare: $\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=A$. ✓

Răspuns: $X=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Vezi și: Matrice inversabilă — ecuații matriceale.