Bacalaureat 2021 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Desfacem paranteza și folosim $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$, $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$:

$$\sqrt{2}\cdot (3+\sqrt{2})-\sqrt{18}=3\sqrt{2}+2-3\sqrt{2}=2.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată.

Vezi și: Radicali — reguli de calcul.

$$a+1=3a+7\Rightarrow -2a=6\Rightarrow a=-3.$$

Verificare: $f(-3)=-2$ și $g(-3)=-9+7=-2$. ✓

Răspuns: $a=-3$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

Ridicăm la pătrat (ambii membri sunt nenegativi):

$$4+2x=16\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6.$$

Verificare: $\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$, deci $x=6$ convine.

Răspuns: $x=6$.

Vezi și: Ecuații iraționale — fișă de lucru.

Numerele naturale nenule de o cifră sunt $1,2,\dots ,9$, deci sunt $9$ cazuri posibile.

Divizorii lui $18$ dintre ele sunt $1,2,3,6,9$, deci sunt $5$ cazuri favorabile.

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{5}{9}.$$

Răspuns: $p={\displaystyle \frac{5}{9}}$.

Vezi și: Probabilități.

Dacă $A\in OB$, punctele $O$, $A$, $B$ sunt coliniare, deci dreptele $OA$ și $OB$ au aceeași pantă ($O(0,0)$):

$$m_{OA}=\frac{2-0}{-1-0}=-2,$$

$$m_{OB}=\frac{a-0}{3-0}=\frac{a}{3}.$$

$$\frac{a}{3}=-2\Rightarrow a=-6.$$

Verificare: dreapta $OB$ are ecuația $y=-2x$, iar $A(-1,2)$ o verifică. ✓

Răspuns: $a=-6$.

Vezi și: Panta unei drepte.

Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare: $\sphericalangle B+\sphericalangle C={90}^{\circ }$. Cum $\sphericalangle C=2\sphericalangle B$, obținem $3\sphericalangle B={90}^{\circ }$, deci $\sphericalangle B={30}^{\circ }$.

Latura $AC$ se opune unghiului $B$ de ${30}^{\circ }$, deci este jumătate din ipotenuză:

$$AC=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2.$$

Răspuns: $AC=2$.

Vezi și: Triunghiul dreptunghic.

$$1\ast 2=3\cdot 1+3\cdot 2-3\cdot 1\cdot 2-2=3+6-6-2=1.$$

Răspuns: $1\ast 2=1$.

Vezi și: Legi de compoziție.

Scriem $-2=1-3$ și grupăm termenii:

$$\begin{array}{rl}x\ast y& =1-3xy+3x+3y-3\\ & =1-3x(y-1)+3(y-1)\\ & =1-3(x-1)(y-1),\end{array}$$

pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Răspuns: $x\ast y=1-3(x-1)(y-1)$.

Folosim forma de la II.2. Pentru orice număr real $x$:

$$x\ast \frac{2}{3}=1-3(x-1)(\frac{2}{3}-1)=1-3(x-1)\cdot (-\frac{1}{3})=1+x-1=x,$$

$$\frac{2}{3}\ast x=1-3(\frac{2}{3}-1)(x-1)=1+x-1=x.$$

Deci $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

Răspuns: $e={\displaystyle \frac{2}{3}}$ este elementul neutru.

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Din II.2, cu $2-x-1=1-x$ și $2-1=1$:

$$(2-x)\ast 2=1-3(1-x)\cdot 1=1-3+3x=3x-2,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine $3x-2=2+x$, adică $2x=4$.

Răspuns: $x=2$.

Din II.2:

$$1-3(m-1)(n-1)=19\iff (m-1)(n-1)=-6.$$

Cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, $m-1\ge -1$ și $n-1\ge -1$. Produsul este negativ, deci un factor este negativ, adică egal cu $-1$, iar celălalt este $6$:

• $m-1=-1$, $n-1=6$: $m=0$, $n=7$;

• $m-1=6$, $n-1=-1$: $m=7$, $n=0$.

Verificare: $0\ast 7=0+21-0-2=19$ și $7\ast 0=21+0-0-2=19$. ✓

Răspuns: $(m,n)\in \{(0,7),(7,0)\}$.

Din II.2, pentru orice număr real $a$:

$$a\ast 1=1-3(a-1)\cdot 0=1,$$

$$a\ast 2=1-3(a-1)=4-3a,$$

$$a\ast 3=1-6(a-1)=7-6a.$$

Suma este $1+4-3a+7-6a=12-9a$, iar ecuația devine

$$12-9a=3a^2\iff a^2+3a-4=0\iff (a+4)(a-1)=0.$$

Răspuns: $a=-4$ sau $a=1$.

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

$$detA=\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 4\end{array}\right|=1\cdot 4-(-1)\cdot (-2)=4-2=2.$$

Răspuns: $detA=2$.

Vezi și: Determinanți.

$$xA-2I_2=\left(\begin{array}{cc}x& -x\\ -2x& 4x\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x-2& -x\\ -2x& 4x-2\end{array}\right)=B(x),$$

pentru orice număr real $x$.

Răspuns: $xA-2I_2=B(x)$.

$$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+2& -1-4\\ -2-8& 2+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -10& 18\end{array}\right),$$

$$B(5)=\left(\begin{array}{cc}5-2& -5\\ -10& 20-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -10& 18\end{array}\right).$$

Deci $A\cdot A=B(5)$.

Răspuns: $A\cdot A=B(5)=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -10& 18\end{array}\right)$.

$$\begin{array}{rl}det(B(x))& =(x-2)(4x-2)-(-x)(-2x)\\ & =4x^2-10x+4-2x^2=2x^2-10x+4,\end{array}$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine $2x^2-10x+4=4$, adică $2x^2-10x=0$, deci $2x(x-5)=0$.

Răspuns: $x=0$ sau $x=5$.

Folosim III.2: $B(t)=tA-2I_2$ pentru orice număr real $t$.

$$\begin{array}{rl}B(xy)-xB(y)& =xyA-2I_2-x(yA-2I_2)\\ & =xyA-2I_2-xyA+2x{I}_2\\ & =2x{I}_2-2I_2=2(x-1)I_2,\end{array}$$

pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Răspuns: $B(xy)-xB(y)=2(x-1)I_2$.

Cum $6^x=2^x\cdot 3^x$, aplicăm III.5 cu $2^x$ în locul lui $x$ și $3^x$ în locul lui $y$:

$$B(2^x\cdot 3^x)-2^{x}B\left(3^x\right)=2(2^x-1)I_2.$$

Ecuația devine $2(2^x-1)I_2=6I_2$, deci $2(2^x-1)=6$, adică $2^x=4=2^2$.

Răspuns: $x=2$.

Vezi și: Ecuații exponențiale.