Bac 2021 M4 pedagogic august — subiect rezolvat

Q: Care a fost cel mai dificil item la Bac 2021 M4 august?

De obicei II.6: trebuie tradus corect enunțul în ecuația ≤ft(x*≤ft( x2* x4))-x=x-1 și calculată întâi compunerea din paranteză.

Subiectul oficial de la Bacalaureat 2021, proba E.c) Matematică M_pedagogic (M4), sesiunea a doua (de toamnă), august–septembrie, Varianta 4, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Proba s-a susținut pe 17 august 2021, în a doua sesiune a Bacalaureatului, de candidații din filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Timpul de lucru este de 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică.

Ai rezolvat? Verifică doar răspunsurile finale ↓

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · progresie aritmetică)

Se consideră progresia aritmetică

(a_{n})_{n \geq 1}

, cu

a_{1} = 2

și

a_{3} = 14

. Calculați termenul

a_{2}

Vezi rezolvarea

Într-o progresie aritmetică, fiecare termen (de la al doilea) este media aritmetică a vecinilor săi:

$a_{2} = \frac{a_{1} + a_{3}}{2} = \frac{2 + 14}{2} = 8.$

Răspuns: $a_{2} = 8$ .

Vezi și: Progresia aritmetică.

Subiectul I.2 (5p · intersecția graficului cu axa Ox)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = x^{2} - 2 x

. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției

f

cu axa

O x

Vezi rezolvarea

Punctele de pe axa $O x$ au ordonata $0$ , deci rezolvăm $f (x) = 0$ :

$x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x (x - 2) = 0.$

Răspuns: $x = 0$ și $x = 2$ .

Vezi și: Funcția de gradul al II-lea.

Subiectul I.3 (5p · ecuație exponențială)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

7^{3 - x} = 49^{x}

Vezi rezolvarea

Scriem $49^{x} = {(7^{2})}^{x} = 7^{2 x}$ și egalăm exponenții:

$7^{3 - x} = 7^{2 x} \Rightarrow 3 - x = 2 x \Rightarrow x = 1.$

Răspuns: $x = 1$ .

Vezi și: Ecuații exponențiale.

Subiectul I.4 (5p · probabilitate)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr

n

din mulțimea

A = {1, 2, 3, \dots, 9}

, numărul

n + 2

să fie impar.

Vezi rezolvarea

Cazuri posibile: mulțimea $A$ are $9$ elemente, deci $9$ cazuri posibile.

Cazuri favorabile: $n + 2$ este impar exact când $n$ este impar: $n \in {1, 3, 5, 7, 9}$ , deci $5$ cazuri favorabile.

$p = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile} = \frac{5}{9} .$

Răspuns: $p = \frac{5}{9}$ .

Vezi și: Probabilități.

Subiectul I.5 (5p · distanța dintre două puncte)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (0, - 3)

B (3, 1)

și

C (a, 0)

, unde

a

este număr real. Determinați numerele reale

a

pentru care

A B = A C

Vezi rezolvarea

$A B = \sqrt{(3 - 0)^{2} + (1 + 3)^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5,$

$A C = \sqrt{a^{2} + 3^{2}} .$

$\sqrt{a^{2} + 9} = 5 \Rightarrow a^{2} + 9 = 25 \Rightarrow a^{2} = 16.$

Răspuns: $a = - 4$ sau $a = 4$ .

Vezi și: Distanța dintre două puncte.

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Arătați că

(1 + \sin 30^{\circ}) \cdot \cos^{2} 45^{\circ} + \cos^{2} 60^{\circ} = 1

Vezi rezolvarea

$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}, \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} .$

$(1 + \frac{1}{2}) \cdot \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1.$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $1$ .

Vezi și: Tabel trigonometric.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = 4 x + 4 y - 3$ .

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Arătați că

0 * 3 = 9

Vezi rezolvarea

$0 * 3 = 4 \cdot 0 + 4 \cdot 3 - 3 = 12 - 3 = 9.$

Răspuns: $0 * 3 = 9$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 (5p · comutativitate)

Arătați că legea de compoziție „

*

” este comutativă.

Vezi rezolvarea

$x * y = 4 x + 4 y - 3 = 4 y + 4 x - 3 = y * x,$

pentru orice numere reale $x$ și $y$ , deci legea este comutativă.

Răspuns: $x * y = y * x$ pentru orice $x, y \in R$ : legea este comutativă.

Subiectul II.3 (5p · ecuație de gradul I)

Determinați numărul real

x

pentru care

(- 3) * x = 9

Vezi rezolvarea

$(- 3) * x = 4 \cdot (- 3) + 4 x - 3 = 4 x - 15,$

pentru orice număr real $x$ . Din $4 x - 15 = 9$ obținem $4 x = 24$ .

Răspuns: $x = 6$ .

Subiectul II.4 (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Determinați numerele reale

x

pentru care

(- x) * (2 x) = x^{2}

Vezi rezolvarea

$(- x) * (2 x) = - 4 x + 8 x - 3 = 4 x - 3,$

pentru orice număr real $x$ . Ecuația devine

$4 x - 3 = x^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x - 3) = 0.$

Răspuns: $x = 1$ sau $x = 3$ .

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

Subiectul II.5 (5p · ecuație exponențială)

Determinați numărul real

x

pentru care

2^{x} * 2^{x} = 1

Vezi rezolvarea

$2^{x} * 2^{x} = 4 \cdot 2^{x} + 4 \cdot 2^{x} - 3 = 8 \cdot 2^{x} - 3,$

pentru orice număr real $x$ . Din $8 \cdot 2^{x} - 3 = 1$ :

$8 \cdot 2^{x} = 4 \Rightarrow 2^{x} = \frac{1}{2} = 2^{- 1} \Rightarrow x = - 1.$

Răspuns: $x = - 1$ .

Vezi și: Ecuații exponențiale.

Subiectul II.6 (5p · problemă cu legea de compoziție)

Determinați numărul real

x

, știind că scăzând

x

din numărul

x * (\frac{x}{2} * \frac{x}{4})

, se obține numărul cu

1

mai mic decât

x

Vezi rezolvarea

Calculăm întâi paranteza, apoi compunerea cu $x$ , pentru orice număr real $x$ :

$\frac{x}{2} * \frac{x}{4} = 2 x + x - 3 = 3 x - 3,$

$x * (3 x - 3) = 4 x + 12 x - 12 - 3 = 16 x - 15.$

Condiția din enunț: $(16 x - 15) - x = x - 1$ , adică $14 x = 14$ .

Răspuns: $x = 1$ .

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , $A = (\begin{matrix} 1 & 6 \\ - 2 & - 7 \end{matrix})$ și $B (x) = (\begin{matrix} 2 & x + 2 \\ x - 2 & - 2 \end{matrix})$ , unde $x$ este număr real.

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Arătați că

det A = 5

Vezi rezolvarea

$det A = | \begin{matrix} 1 & 6 \\ - 2 & - 7 \end{matrix} | = 1 \cdot (- 7) - 6 \cdot (- 2) = - 7 + 12 = 5.$

Răspuns: $det A = 5$ .

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant.

Subiectul III.2 (5p · operații cu matrice)

Arătați că

2 B (1) - A = 3 I_{2}

Vezi rezolvarea

$B (1) = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 1 & - 2 \end{matrix}),$

$2 B (1) = (\begin{matrix} 4 & 6 \\ - 2 & - 4 \end{matrix}) .$

$2 B (1) - A = (\begin{matrix} 4 - 1 & 6 - 6 \\ - 2 + 2 & - 4 + 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) = 3 I_{2} .$

Răspuns: $2 B (1) - A = 3 I_{2}$ .

Subiectul III.3 (5p · produs de matrice)

Arătați că

B (1) \cdot B (3) - 3 I_{2} = 2 B (0)

Vezi rezolvarea

$B (3) = (\begin{matrix} 2 & 5 \\ 1 & - 2 \end{matrix}),$

$B (1) \cdot B (3) = (\begin{matrix} 4 + 3 & 10 - 6 \\ - 2 - 2 & - 5 + 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 & 4 \\ - 4 & - 1 \end{matrix}) .$

$B (1) \cdot B (3) - 3 I_{2} = (\begin{matrix} 4 & 4 \\ - 4 & - 4 \end{matrix}) = 2 (\begin{matrix} 2 & 2 \\ - 2 & - 2 \end{matrix}) = 2 B (0) .$

Răspuns: $B (1) \cdot B (3) - 3 I_{2} = 2 B (0)$ .

Subiectul III.4 (5p · pătratul unei matrice)

Arătați că

B (x) \cdot B (x) = x^{2} I_{2}

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

Folosim $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$ :

$B (x) \cdot B (x) = (\begin{matrix} 4 + (x^{2} - 4) & 2 (x + 2) - 2 (x + 2) \\ 2 (x - 2) - 2 (x - 2) & (x^{2} - 4) + 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x^{2} & 0 \\ 0 & x^{2} \end{matrix}) = x^{2} I_{2},$

pentru orice număr real $x$ .

Răspuns: $B (x) \cdot B (x) = x^{2} I_{2}$ , pentru orice $x \in R$ .

Subiectul III.5 (5p · ecuație cu determinanți)

Determinați numărul real

x

pentru care

det (B (x)) = det (B (x + 1))

Vezi rezolvarea

$det (B (x)) = 2 \cdot (- 2) - (x + 2) (x - 2) = - 4 - x^{2} + 4 = - x^{2},$

deci $det (B (x + 1)) = - (x + 1)^{2}$ , pentru orice număr real $x$ . Ecuația devine

$- x^{2} = - (x + 1)^{2} \Leftrightarrow x^{2} = x^{2} + 2 x + 1 \Leftrightarrow 2 x + 1 = 0.$

Răspuns: $x = - \frac{1}{2}$ .

Subiectul III.6 (5p · ecuație în numere naturale)

Determinați numărul natural

n

pentru care

B (3) \cdot B (3) + B (4) \cdot B (4) = B (n) \cdot B (n)

Vezi rezolvarea

Din III.4: $B (3) \cdot B (3) = 3^{2} I_{2}$ , $B (4) \cdot B (4) = 4^{2} I_{2}$ și $B (n) \cdot B (n) = n^{2} I_{2}$ . Ecuația devine

$9 I_{2} + 16 I_{2} = n^{2} I_{2} \Rightarrow n^{2} = 25,$

iar cum $n$ este număr natural, $n = 5$ .

Răspuns: $n = 5$ .

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$a_{2} = 8$
I.2	$x = 0$ și $x = 2$
I.3	$x = 1$
I.4	$p = \frac{5}{9}$
I.5	$a = - 4$ sau $a = 4$
I.6	$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ (adevărat)
II.1–II.3	1) $9$ ; 2) adevărat; 3) $x = 6$
II.4–II.6	4) $x = 1$ sau $x = 3$ ; 5) $x = - 1$ ; 6) $x = 1$
III.1–III.3	1) $5$ ; 2) adevărat; 3) adevărat
III.4–III.6	4) adevărat; 5) $x = - \frac{1}{2}$ ; 6) $n = 5$

Ce s-a cerut la Bac 2021 M4, sesiunea august

Subiectul I a cuprins o progresie aritmetică, intersecția graficului unei funcții de gradul al II-lea cu axa $O x$ , o ecuație exponențială, o probabilitate, distanța dintre două puncte și valori din tabelul trigonometric. Subiectul al II-lea a fost despre legea $x * y = 4 x + 4 y - 3$ (comutativitate, ecuații de gradul I, al II-lea și exponențiale), iar Subiectul al III-lea despre matrice și determinanți, cu proprietatea $B (x) \cdot B (x) = x^{2} I_{2}$ .

Subiectul și baremul oficial (Varianta 4, proba din 17 august 2021) au fost publicate de Ministerul Educației / CNPEE în ziua probei, în arhiva sesiunii august–septembrie 2021 de pe subiecte.edu.ro.

Întrebări frecvente

Ce variantă s-a dat la Bac 2021 matematică M_pedagogic în sesiunea de toamnă? În sesiunea august–septembrie 2021 (proba din 17 august) s-a extras Varianta 4, pentru candidații de la profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus.

Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la Bac 2021 M4 august? De obicei II.6: trebuie tradus corect enunțul în ecuația $(x * (\frac{x}{2} * \frac{x}{4})) - x = x - 1$ și calculată întâi compunerea din paranteză.

Alte subiecte

Bac 2021 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Bac 2026 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2025 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2024 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2023 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2022 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2020 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Bacalaureat 2021 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · progresie aritmetică)

Subiectul I.2 (5p · intersecția graficului cu axa Ox)

Subiectul I.3 (5p · ecuație exponențială)

Subiectul I.4 (5p · probabilitate)

Subiectul I.5 (5p · distanța dintre două puncte)

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Subiectul II.2 (5p · comutativitate)

Subiectul II.3 (5p · ecuație de gradul I)

Subiectul II.4 (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Subiectul II.5 (5p · ecuație exponențială)

Subiectul II.6 (5p · problemă cu legea de compoziție)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Subiectul III.2 (5p · operații cu matrice)

Subiectul III.3 (5p · produs de matrice)

Subiectul III.4 (5p · pătratul unei matrice)

Subiectul III.5 (5p · ecuație cu determinanți)

Subiectul III.6 (5p · ecuație în numere naturale)

Răspunsuri pe scurt

Ce s-a cerut la Bac 2021 M4, sesiunea august

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe