Bacalaureat 2026 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Rația progresiei este diferența a doi termeni consecutivi, iar fiecare termen se obține din precedentul adunând rația:

$$r=a_2-a_1=16-2=14,$$

$$a_3=a_2+r=16+14=30.$$

Răspuns: $a_3=30$.

Vezi și: Progresia aritmetică.

$$f(3)=3-2=1,$$

$$f(5)=5-2=3,$$

iar $f(m)=m-2$, pentru orice număr real $m$. Ecuația devine $1+3=m-2$, deci $m=6$.

Răspuns: $m=6$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

Ridicăm la pătrat (ambii membri sunt nenegativi):

$$3x=12-x\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3.$$

Verificare: $\sqrt{3\cdot 3}=\sqrt{9}=3$ și $\sqrt{12-3}=\sqrt{9}=3$, deci $x=3$ convine.

Răspuns: $x=3$.

Vezi și: Radicali.

Mulțimea $A$ are $35-20+1=16$ elemente, deci sunt $16$ cazuri posibile. Multiplii lui $5$ din $A$ sunt $20,25,30,35$, deci sunt $4$ cazuri favorabile.

$$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}.$$

Răspuns: $p={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Vezi și: Probabilități.

Calculăm lungimile laturilor cu formula distanței dintre două puncte ($O(0,0)$):

$$OM=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},$$

$$ON=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50},$$

$$MN=\sqrt{(7-1{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}.$$

Cum $O{N}^2=50=10+40=O{M}^2+M{N}^2$, din reciproca teoremei lui Pitagora triunghiul $OMN$ este dreptunghic (în $M$).

Răspuns: $O{N}^2=O{M}^2+M{N}^2$, deci triunghiul $OMN$ este dreptunghic în $M$.

Vezi și: Distanța dintre două puncte, Teorema lui Pitagora.

Unghiurile $B$ și $C$ au câte ${45}^{\circ }$, deci triunghiul este dreptunghic isoscel: $AB=AC$. Din $AB=BC\cdot \cos {45}^{\circ }$:

$$AB=AC=8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}.$$

$$P_{\mathrm{△}ABC}=BC+AB+AC=8+4\sqrt{2}+4\sqrt{2}=8+8\sqrt{2}=8(1+\sqrt{2}).$$

Răspuns: $P_{\mathrm{△}ABC}=8(1+\sqrt{2})$.

Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Tabel trigonometric.

$$4\circ 8=\frac{1}{3}(4-2)(8-2)+2=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot 6+2=4+2=6.$$

Răspuns: $4\circ 8=6$.

Vezi și: Legi de compoziție.

$$(-1)\circ x=\frac{1}{3}\cdot (-3)\cdot (x-2)+2=-(x-2)+2=-x+4,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine $-x+4=x$, adică $2x=4$, deci $x=2$.

Răspuns: $x=2$.

Trebuie să arătăm că $x\circ 5=5\circ x=x$, pentru orice număr real $x$:

$$x\circ 5=\frac{1}{3}(x-2)(5-2)+2=x-2+2=x,$$

$$5\circ x=\frac{1}{3}(5-2)(x-2)+2=x-2+2=x,$$

pentru orice număr real $x$, deci $e=5$ este elementul neutru.

Răspuns: $x\circ 5=5\circ x=x$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, deci $e=5$.

$$N=\frac{1}{3}(n-2)(-n-2)+2=\frac{-(n-2)(n+2)}{3}+2=\frac{4-n^2}{3}+2=\frac{10-n^2}{3},$$

pentru orice număr natural $n$. Ca $N$ să fie natural trebuie $10-n^2\ge 0$, deci $n\in \{0,1,2,3\}$, și $10-n^2$ divizibil cu $3$:

• $n=0$: $N=\frac{10}{3}$ — nu convine; • $n=1$: $N=3$ ✓; • $n=2$: $N=2$ ✓; • $n=3$: $N=\frac{1}{3}$ — nu convine.

Răspuns: $n=1$ și $n=2$.

$1$ este simetricul lui $x$ dacă $x\circ 1=1\circ x=e=5$. Legea este comutativă, deci ajunge

$$x\circ 1=\frac{1}{3}(x-2)(1-2)+2=-\frac{1}{3}(x-2)+2=5.$$

Obținem $-\frac{1}{3}(x-2)=3$, adică $x-2=-9$, deci $x=-7$.

Verificare: $(-7)\circ 1=\frac{1}{3}\cdot (-9)\cdot (-1)+2=3+2=5=e$. ✓

Răspuns: $x=-7$.

$$2^m\circ 3^p=\frac{1}{3}(2^m-2)(3^p-2)+2=4\iff (2^m-2)(3^p-2)=6.$$

Pentru $p$ natural, $3^p-2\in \{-1,1,7,25,\dots \}$; dintre acestea, doar $-1$ și $1$ divid pe $6$.

• $3^p-2=-1$ (adică $p=0$) ar da $2^m-2=-6$, imposibil, deoarece $2^m-2\ge -1$.

• $3^p-2=1$ (adică $p=1$) dă $2^m-2=6$, deci $2^m=8$ și $m=3$.

Răspuns: $m=3$ și $p=1$.

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

$$A(5)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 5& 2\end{array}\right),$$

$$det(A(5))=2\cdot 2-0\cdot 5=4-0=4.$$

Răspuns: $det(A(5))=4$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$\begin{array}{rl}3A(5)-A(1)& =\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 15& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 14& 8\end{array}\right)\\ & =2\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 7& 4\end{array}\right)=2A(7).\end{array}$$

Egalitatea devine $2A(x)=2A(7)$; comparând elementele de pe linia a doua, prima coloană, obținem $x=7$.

Răspuns: $x=7$.

$$A(4)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& 1\end{array}\right),$$

$$A(4)\cdot A(4)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 8+4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 12& 1\end{array}\right).$$

$$A(4)\cdot A(4)+2I_2=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 12& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 12& 3\end{array}\right)=3A(4).$$

Egalitatea devine $3A(4)=mA(4)$, deci $m=3$.

Răspuns: $m=3$.

$$A(x)+A(x^2)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ x+x^2& x+x^2-6\end{array}\right),$$

deci $det(A(x)+A(x^2))=4(x^2+x-6)$, pentru orice număr real $x$. Ecuația devine

$$4(x^2+x-6)=0\iff (x+3)(x-2)=0.$$

Răspuns: $x=-3$ sau $x=2$.

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

Înmulțim linie cu coloană:

$$A(x)\cdot A(a)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ x& x-3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ a& a-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 2x+ax-3a& ax-3a-3x+9\end{array}\right).$$

Suma elementelor este

$$\begin{array}{rl}S& =4+0+(2x+ax-3a)+(ax-3a-3x+9)\\ & =2ax-x-6a+13=x(2a-1)-6a+13.\end{array}$$

Condiția $x(2a-1)-6a+13=b$ pentru orice număr real $x$ cere ca coeficientul lui $x$ să fie nul: $2a-1=0$, deci $a=\frac{1}{2}$, iar atunci $b=-6\cdot \frac{1}{2}+13=10$.

Răspuns: $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ și $b=10$.

Căutăm $C=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$, cu $a$ și $b$ numere reale. Atunci

$$A(5)\cdot C=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 5& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2a\\ 5a+2b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right).$$

Din $2a=4$ obținem $a=2$, apoi $10+2b=0$, deci $b=-5$.

Răspuns: $C=\left(\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right)$.

Vezi și: Matrice inversabilă — ecuații matriceale.