Simulare Bac 2023 M4 pedagogic

Q: Contează simularea Bac 2023 la nota finală?

Nu. Simularea din martie 2023 (28 martie pentru matematică) a fost o testare de exercițiu pentru elevii de clasa a XII-a: nota obținută nu intră în media de la Bacalaureat. Ea arată însă foarte bine nivelul subiectului din iunie, pentru că are aceeași structură și același tip de barem.

Q: Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează?

Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Q: Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem?

Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Q: Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2023 M4?

De obicei II.6: din forma x y=13(x-3)(y-3)+3 se vede că 3 este element absorbant, iar printre radicali apare 9=3, deci tot produsul este 3.

Subiectul oficial de la simularea națională a Bacalaureatului 2023, proba E.c) Matematică M_pedagogic (M4), susținută de elevii de clasa a XII-a marți, 28 martie 2023, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Subiectul este pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Timpul de lucru este de 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte (câte 6 itemi de 5 puncte), plus 10 puncte din oficiu. Simularea nu contează la nota finală de la Bacalaureat, dar are exact structura examenului din iunie. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică.

Ai rezolvat? Verifică doar răspunsurile finale ↓

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu radicali)

Arătați că

\sqrt{2} (2 \sqrt{2} - \sqrt{6}) + 2 \sqrt{3} = 4

Vezi rezolvarea

Desfacem paranteza: $\sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$ și $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{2} (2 \sqrt{2} - \sqrt{6}) = 4 - 2 \sqrt{3},$

$4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = 4.$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $4$ .

Vezi și: Radicali — reguli de calcul.

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I, media geometrică)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 2 x + 1

. Determinați numărul real pozitiv

a

pentru care

f (a)

este media geometrică a numerelor

f (0)

și

f (4)

Vezi rezolvarea

$f (a) = 2 a + 1, f (0) = 1, f (4) = 9.$

Media geometrică a numerelor $1$ și $9$ este $\sqrt{1 \cdot 9} = 3$ , deci

$2 a + 1 = \sqrt{9} = 3 \Rightarrow a = 1,$

care este pozitiv, deci convine.

Răspuns: $a = 1$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație exponențială)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

2 \cdot 3^{x + 1} = 18

Vezi rezolvarea

Împărțim la $2$ și scriem $9$ ca putere a lui $3$ :

$3^{x + 1} = 9 = 3^{2} \Rightarrow x + 1 = 2 \Rightarrow x = 1.$

Răspuns: $x = 1$ .

Vezi și: Ecuații exponențiale.

Subiectul I.4 (5p · procente, scumpire)

Prețul unui produs este

300

de lei. După o scumpire cu

p %

prețul produsului devine

360

de lei. Calculați

p

Vezi rezolvarea

Scumpirea cu $p %$ adaugă $\frac{p}{100} \cdot 300$ lei la prețul inițial:

$300 + \frac{p}{100} \cdot 300 = 360 \Rightarrow \frac{p}{100} \cdot 300 = 60 \Rightarrow 3 p = 60 \Rightarrow p = 20.$

Verificare: $20 %$ din $300$ este $60$ , iar $300 + 60 = 360$ . ✓

Răspuns: $p = 20$ .

Vezi și: Procente, Calculator procente.

Subiectul I.5 (5p · ecuația unei drepte)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (- 1, 2)

B (1, 1)

și

C (3, m)

. Determinați numărul real

m

pentru care punctul

C

aparține dreptei

A B

Vezi rezolvarea

Ecuația dreptei prin $A (- 1, 2)$ și $B (1, 1)$ :

$\frac{x + 1}{1 + 1} = \frac{y - 2}{1 - 2} \Leftrightarrow \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} \Leftrightarrow x + 2 y - 3 = 0.$

Punctul $C (3, m)$ aparține dreptei $A B$ dacă îi verifică ecuația:

$3 + 2 m - 3 = 0 \Rightarrow m = 0.$

Răspuns: $m = 0$ .

Vezi și: Ecuația dreptei.

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic)

Se consideră triunghiul

A B C

dreptunghic în

A

A B = 6

și măsura unghiului

C

este egală cu

60^{\circ}

. Arătați că

B C = 4 \sqrt{3}

Vezi rezolvarea

În triunghiul dreptunghic, $A B$ este cateta opusă unghiului $C$ , iar $B C$ este ipotenuza:

$\sin C = \frac{A B}{B C} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{B C} \Rightarrow B C = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3} .$

Răspuns: $B C = 4 \sqrt{3}$ .

Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Tabel trigonometric.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = \frac{1}{3} x y - x - y + 6$ .

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Arătați că

1 \circ (- 3) = 7

Vezi rezolvarea

$1 \circ (- 3) = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (- 3) - 1 + 3 + 6 = - 1 - 1 + 3 + 6 = 7.$

Răspuns: $1 \circ (- 3) = 7$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 (5p · element neutru)

Arătați că

e = 6

este elementul neutru al legii de compoziție „

\circ

”.

Vezi rezolvarea

Verificăm $x \circ 6 = x$ și $6 \circ x = x$ pentru orice număr real $x$ :

$x \circ 6 = \frac{1}{3} \cdot x \cdot 6 - x - 6 + 6 = 2 x - x = x,$

$6 \circ x = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot x - 6 - x + 6 = x .$

Răspuns: $x \circ 6 = 6 \circ x = x$ pentru orice $x \in R$ , deci $e = 6$ este elementul neutru.

Vezi și: Legi de compoziție — element neutru.

Subiectul II.3 (5p · ecuație)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale pozitive ecuația

\sqrt{x} \circ 6 = 1

Vezi rezolvarea

Din II.2, $6$ este element neutru, deci $\sqrt{x} \circ 6 = \sqrt{x}$ pentru orice număr real pozitiv $x$ . Ecuația devine

$\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1,$

care convine.

Răspuns: $x = 1$ .

Vezi și: Radicali.

Subiectul II.4 (5p · inecuație în $N$ )

Determinați numerele naturale

n

pentru care

2 \circ n < (2 n) \circ 1 + 1

Vezi rezolvarea

Calculăm cei doi membri:

$2 \circ n = \frac{2 n}{3} - 2 - n + 6,$

$(2 n) \circ 1 = \frac{2 n}{3} - 2 n - 1 + 6.$

Inecuația devine

$\frac{2 n}{3} - 2 - n + 6 < \frac{2 n}{3} - 2 n - 1 + 6 + 1 \Leftrightarrow - n + 4 < - 2 n + 6 \Leftrightarrow n < 2.$

Cum $n$ este număr natural, obținem $n = 0$ sau $n = 1$ .

Răspuns: $n \in {0, 1}$ .

Vezi și: Inecuații.

Subiectul II.5 (5p · forma canonică a legii)

Demonstrați că

x \circ y = \frac{1}{3} \cdot (x - 3) (y - 3) + 3

, pentru orice numere reale

x

și

y

Vezi rezolvarea

Scriem $- x = - \frac{1}{3} \cdot 3 x$ și $6 = 3 + 3$ , apoi grupăm:

$\begin{aligned} x \circ y & = \frac{1}{3} x y - \frac{1}{3} \cdot 3 x - y + 3 + 3 = \frac{1}{3} x (y - 3) - (y - 3) + 3 \\ = (y - 3) (\frac{1}{3} x - 1) + 3 = \frac{1}{3} (x - 3) (y - 3) + 3. \end{aligned}$

Răspuns: $x \circ y = \frac{1}{3} (x - 3) (y - 3) + 3$ pentru orice $x, y \in R$ .

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Subiectul II.6 (5p · element absorbant)

Calculați

\sqrt{1} \circ \sqrt{2} \circ \dots \circ \sqrt{2023}

Vezi rezolvarea

Din II.5, pentru $y = 3$ factorul $y - 3$ este $0$ , deci

$x \circ 3 = 3 \circ x = 3, pentru orice număr real x$

( $3$ este element absorbant). Printre factori se află $\sqrt{9} = 3$ . Legea fiind asociativă, grupăm:

$\begin{aligned} (\sqrt{1} \circ \dots \circ \sqrt{8}) \circ \sqrt{9} \circ (\sqrt{10} \circ \dots \circ \sqrt{2023}) \\ = 3 \circ (\sqrt{10} \circ \dots \circ \sqrt{2023}) = 3. \end{aligned}$

Răspuns: $\sqrt{1} \circ \sqrt{2} \circ \dots \circ \sqrt{2023} = 3$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $A = (\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix})$ , $B (a) = (\begin{matrix} a + 2 & 1 \\ 1 & a \end{matrix})$ , $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , unde $a$ este un număr real.

Subiectul III.1 (5p · produs de matrice)

Arătați că

A \cdot A = 5 I_{2}

Vezi rezolvarea

$A \cdot A = (\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 + 4 & - 2 + 2 \\ - 2 + 2 & 4 + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix}) = 5 I_{2} .$

Răspuns: $A \cdot A = 5 I_{2}$ .

Vezi și: Matrice și determinanți.

Subiectul III.2 (5p · determinant, ecuație de gradul II)

Determinați numerele reale

a

pentru care

det (B (a) + A) = 0

Vezi rezolvarea

$B (a) + A = (\begin{matrix} a + 2 & 1 \\ 1 & a \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a + 1 & 3 \\ 3 & a + 1 \end{matrix}) .$

$det (B (a) + A) = (a + 1)^{2} - 9 = 0 \Rightarrow a + 1 = \pm 3.$

Răspuns: $a = - 4$ sau $a = 2$ .

Vezi și: Determinanți.

Subiectul III.3 (5p · matrice inversabilă)

Demonstrați că

B (q - 1)

este inversabilă pentru orice număr rațional

q

Vezi rezolvarea

$det (B (q - 1)) = | \begin{matrix} q + 1 & 1 \\ 1 & q - 1 \end{matrix} | = (q + 1) (q - 1) - 1 = q^{2} - 2.$

Determinantul se anulează doar pentru $q^{2} = 2$ , adică $q = - \sqrt{2} \notin Q$ sau $q = \sqrt{2} \notin Q$ . Așadar pentru orice $q$ rațional, $det (B (q - 1)) \neq 0$ , deci matricea este inversabilă.

Răspuns: $det B (q - 1) = q^{2} - 2 \neq 0$ pentru $q \in Q$ , deci $B (q - 1)$ este inversabilă.

Vezi și: Matrice inversabilă.

Subiectul III.4 (5p · egalitate de matrice)

Determinați numerele reale

a

pentru care

B (a) \cdot B (a) = B (\frac{5}{4})

Vezi rezolvarea

$B (a) \cdot B (a) = (\begin{matrix} a + 2 & 1 \\ 1 & a \end{matrix}) (\begin{matrix} a + 2 & 1 \\ 1 & a \end{matrix}) = (\begin{matrix} (a + 2)^{2} + 1 & 2 + 2 a \\ 2 + 2 a & 1 + a^{2} \end{matrix}),$

$B (\frac{5}{4}) = (\begin{matrix} \frac{13}{4} & 1 \\ 1 & \frac{5}{4} \end{matrix}) .$

Egalăm elementele: din $2 + 2 a = 1$ rezultă $a = - \frac{1}{2}$ . Verificăm celelalte elemente: ${(\frac{3}{2})}^{2} + 1 = \frac{13}{4}$ și $1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ . ✓

Răspuns: $a = - \frac{1}{2}$ .

Vezi și: Matrice — operații.

Subiectul III.5 (5p · ecuație logaritmică)

Determinați numerele reale pozitive

x

pentru care

B (\log_{2} x) - B (\log_{4} x) = I_{2}

Vezi rezolvarea

Pentru orice $u, v$ reale, $B (u) - B (v) = (\begin{matrix} u - v & 0 \\ 0 & u - v \end{matrix})$ , deci

$B (\log_{2} x) - B (\log_{4} x) = (\begin{matrix} \log_{2} x - \log_{4} x & 0 \\ 0 & \log_{2} x - \log_{4} x \end{matrix}) .$

Egalitatea cu $I_{2}$ înseamnă $\log_{2} x - \log_{4} x = 1$ . Cum $\log_{4} x = \frac{\log_{2} x}{2}$ :

$\log_{2} x - \frac{\log_{2} x}{2} = 1 \Rightarrow \log_{2} x = 2 \Rightarrow x = 4,$

care convine.

Răspuns: $x = 4$ .

Vezi și: Logaritmi, Calculator logaritmi.

Subiectul III.6 (5p · ecuație matriceală)

Determinați matricea

X \in M_{2} (R)

pentru care

X \cdot B (0) = A

Vezi rezolvarea

Notăm $X = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ . Cum $B (0) = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ :

$X \cdot B (0) = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 a + b & a \\ 2 c + d & c \end{matrix}) .$

$(\begin{matrix} 2 a + b & a \\ 2 c + d & c \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow a = 2, b = - 5, c = 1, d = 0.$

Verificare: $(\begin{matrix} 2 & - 5 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 - 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) = A$ . ✓

Răspuns: $X = (\begin{matrix} 2 & - 5 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ .

Vezi și: Ecuații matriceale, Calculator determinant și matrice inversă.

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = 4$ (adevărat)
I.2	$a = 1$
I.3	$x = 1$
I.4	$p = 20$
I.5	$m = 0$
I.6	$B C = \frac{6}{\sin 60^{\circ}} = 4 \sqrt{3}$
II.1–II.3	1) $7$ ; 2) $e = 6$ neutru; 3) $x = 1$
II.4–II.6	4) $n \in {0, 1}$ ; 5) adevărat; 6) $3$
III.1–III.3	1) $5 I_{2}$ ; 2) $a = - 4$ sau $a = 2$ ; 3) $det = q^{2} - 2 \neq 0$
III.4–III.6	4) $a = - \frac{1}{2}$ ; 5) $x = 4$ ; 6) $X = (\begin{matrix} 2 & - 5 \\ 1 & 0 \end{matrix})$

Ce s-a cerut la simularea Bac 2023 M4

Subiectul I a cuprins un calcul cu radicali, media geometrică a două valori ale unei funcții de gradul I, o ecuație exponențială, o scumpire (procente), ecuația unei drepte și un triunghi dreptunghic cu un unghi de $60^{\circ}$ . Subiectul al II-lea a fost despre legea de compoziție $x \circ y = \frac{1}{3} x y - x - y + 6$ (element neutru, element absorbant), iar Subiectul al III-lea despre matrice și determinanți, cu o ecuație logaritmică și o ecuație matriceală.

Subiectul și baremul oficial au fost publicate de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație pe subiecte.edu.ro, în secțiunea simulării Bacalaureatului 2023 pentru clasa a XII-a.

Întrebări frecvente

Contează simularea Bac 2023 la nota finală? Nu. Simularea din martie 2023 (28 martie pentru matematică) a fost o testare de exercițiu pentru elevii de clasa a XII-a: nota obținută nu intră în media de la Bacalaureat. Ea arată însă foarte bine nivelul subiectului din iunie, pentru că are aceeași structură și același tip de barem.

Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2023 M4? De obicei II.6: din forma $x \circ y = \frac{1}{3} (x - 3) (y - 3) + 3$ se vede că $3$ este element absorbant, iar printre radicali apare $\sqrt{9} = 3$ , deci tot produsul este $3$ .

Alte subiecte

Bac 2023 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Simulare Bac 2022 M4 pedagogic rezolvată · Simulare Bac 2021 M4 pedagogic rezolvată

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Simulare Bac 2023 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu radicali)

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I, media geometrică)

Subiectul I.3 (5p · ecuație exponențială)

Subiectul I.4 (5p · procente, scumpire)

Subiectul I.5 (5p · ecuația unei drepte)

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Subiectul II.2 (5p · element neutru)

Subiectul II.3 (5p · ecuație)

Subiectul II.4 (5p · inecuație în $N$ )

Subiectul II.5 (5p · forma canonică a legii)

Subiectul II.6 (5p · element absorbant)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 (5p · produs de matrice)

Subiectul III.2 (5p · determinant, ecuație de gradul II)

Subiectul III.3 (5p · matrice inversabilă)

Subiectul III.4 (5p · egalitate de matrice)

Subiectul III.5 (5p · ecuație logaritmică)

Subiectul III.6 (5p · ecuație matriceală)

Răspunsuri pe scurt

Ce s-a cerut la simularea Bac 2023 M4

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe

Simulare Bac 2023 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu radicali)

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I, media geometrică)

Subiectul I.3 (5p · ecuație exponențială)

Subiectul I.4 (5p · procente, scumpire)

Subiectul I.5 (5p · ecuația unei drepte)

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Subiectul II.2 (5p · element neutru)

Subiectul II.3 (5p · ecuație)

Subiectul II.4 (5p · inecuație în N)

Subiectul II.5 (5p · forma canonică a legii)

Subiectul II.6 (5p · element absorbant)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 (5p · produs de matrice)

Subiectul III.2 (5p · determinant, ecuație de gradul II)

Subiectul III.3 (5p · matrice inversabilă)

Subiectul III.4 (5p · egalitate de matrice)

Subiectul III.5 (5p · ecuație logaritmică)

Subiectul III.6 (5p · ecuație matriceală)

Răspunsuri pe scurt

Ce s-a cerut la simularea Bac 2023 M4

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe

Subiectul II.4 (5p · inecuație în $N$ )