Simulare Bac 2024 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat

Rația este diferența a doi termeni consecutivi:

$$r=a_2-a_1=8-6=2,$$

$$a_3=a_2+r=8+2=10.$$

Răspuns: $a_3=10$.

Vezi și: Progresia aritmetică.

Punctul $A(m,3)$ aparține graficului dacă $f(m)=3$:

$$4m-9=3\iff 4m=12\iff m=3.$$

Răspuns: $m=3$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

Scriem $4^x=(2^2{)}^x=2^{2x}$:

$$2^{2x}=2^{3x-2}\Rightarrow 2x=3x-2\Rightarrow x=2.$$

Răspuns: $x=2$.

Vezi și: Puteri — reguli de calcul, Ecuații exponențiale.

Fie $x$ numărul total de concurenți. Atunci

$$\frac{40}{100}\cdot x=80\Rightarrow x=\frac{80\cdot 100}{40}=200.$$

Răspuns: $200$ de concurenți.

Vezi și: Procente — formule.

Mijlocul segmentului $AB$ este

$$M(\frac{3+1}{2},\frac{1+3}{2})=M(2,2).$$

$M$ trebuie să fie și mijlocul segmentului $OC$, cu $O(0,0)$ și $C(a,a)$:

$$\frac{0+a}{2}=2\Rightarrow a=4.$$

Răspuns: $a=4$.

Vezi și: Mijlocul unui segment.

Cu teorema lui Pitagora:

$$AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{256-192}=\sqrt{64}=8.$$

$M$ este mijlocul ipotenuzei, deci $CM={\displaystyle \frac{BC}{2}}=8$, iar mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea jumătate din ipotenuză: $AM={\displaystyle \frac{BC}{2}}=8$.

Așadar $AM=CM=AC=8$, deci triunghiul $AMC$ este echilateral.

Răspuns: $AM=CM=AC=8$: triunghiul $AMC$ este echilateral.

Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Teorema lui Pitagora.

$$3\circ 3=3(3\cdot 3-2\cdot 3-2\cdot 3)+14=3\cdot (-3)+14=5,$$

$$1\circ 1=3(1\cdot 1-2\cdot 1-2\cdot 1)+14=3\cdot (-3)+14=5.$$

Răspuns: $3\circ 3=1\circ 1=5$.

Vezi și: Legi de compoziție.

$$x\circ 2=3(x\cdot 2-2\cdot x-2\cdot 2)+14=3\cdot (-4)+14=-12+14=2,$$

pentru orice număr real $x$.

Răspuns: $x\circ 2=2$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

Verificăm $x\circ e=x$ și $e\circ x=x$ pentru orice număr real $x$:

$$x\circ \frac{7}{3}=3(\frac{7x}{3}-2x-\frac{14}{3})+14=7x-6x-14+14=x,$$

$$\frac{7}{3}\circ x=3(\frac{7x}{3}-\frac{14}{3}-2x)+14=7x-14-6x+14=x.$$

Deci $e={\displaystyle \frac{7}{3}}$ este elementul neutru al legii „$\circ$”.

Răspuns: $x\circ \frac{7}{3}=\frac{7}{3}\circ x=x$ pentru orice $x$, deci $e=\frac{7}{3}$ este element neutru.

Vezi și: Legi de compoziție — element neutru.

$$x\circ x=3(x^2-4x)+14=3x^2-12x+14,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine

$$3x^2-12x+14=5\iff x^2-4x+3=0\iff (x-1)(x-3)=0.$$

Răspuns: $x=1$ sau $x=3$.

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

Legea se poate scrie în forma factorizată (dezvoltând, $3(x-2)(y-2)+2=3xy-6x-6y+14$):

$$x\circ y=3(x-2)(y-2)+2.$$

Pentru $x\ge 2$ și $y\ge 2$ avem $x-2\ge 0$ și $y-2\ge 0$, deci $(x-2)(y-2)\ge 0$ și

$$x\circ y=3(x-2)(y-2)+2\ge 2.$$

Răspuns: $x\circ y\ge 2$ pentru orice $x\ge 2$, $y\ge 2$.

Cu forma de la II.5:

$$m\circ n=8\iff 3(m-2)(n-2)+2=8\iff (m-2)(n-2)=2.$$

Pentru $m,n$ naturale nenule, $m-2\ge -1$ și $n-2\ge -1$ sunt numere întregi. Descompunerile lui $2$ ca produs de doi întregi sunt $1\cdot 2$, $2\cdot 1$, $(-1)\cdot (-2)$, $(-2)\cdot (-1)$; ultimele două sunt excluse (un factor ar fi $-2<-1$). Rămân

$$(m,n)=(3,4)\text{sau}(m,n)=(4,3),$$

iar în ambele cazuri $m+n=7$.

Răspuns: $m+n=7$.

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

$$detA=\left|\begin{array}{cc}3& 6\\ -1& -2\end{array}\right|=3\cdot (-2)-6\cdot (-1)=-6+6=0.$$

Răspuns: $detA=0$.

Vezi și: Determinanți.

$$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 3+6\cdot (-1)& 3\cdot 6+6\cdot (-2)\\ -1\cdot 3+(-2)\cdot (-1)& -1\cdot 6+(-2)\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ -1& -2\end{array}\right)=A.$$

Răspuns: $A\cdot A=A$.

Vezi și: Matrice și determinanți.

$$X(a)=\left(\begin{array}{cc}1+3a& 6a\\ -a& 1-2a\end{array}\right).$$

$$\begin{array}{rl}det(X(a))& =(1+3a)(1-2a)+6a^2\\ & =1+a-6a^2+6a^2=1+a.\end{array}$$

Ecuația devine $1+a=2a^2$, adică

$$2a^2-a-1=0\iff (2a+1)(a-1)=0.$$

Răspuns: $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ sau $a=1$.

Folosim $A\cdot I_2=A$ și, din III.2, $A\cdot A=A$:

$$A\cdot X(a)=A\cdot (I_2+aA)=A\cdot I_2+aA\cdot A=A+aA=(a+1)A,$$

pentru orice număr real $a$.

Răspuns: $A\cdot X(a)=(a+1)A$ pentru orice $a\in \mathbb{R}$.

Desfacem parantezele și folosim din nou $A\cdot A=A$:

$$\begin{array}{rl}X(m)\cdot X(n)& =(I_2+mA)(I_2+nA)=I_2+mA+nA+mnA\cdot A\\ & =I_2+(m+n+mn)A=X(m+n+mn),\end{array}$$

pentru orice numere reale $m$ și $n$.

Răspuns: $X(m)\cdot X(n)=X(m+n+mn)$.

Din III.5 cu $m=n=a$, respectiv $m=n=b$: $X(a)\cdot X(a)=X(2a+a^2)$ și $X(b)\cdot X(b)=X(2b+b^2)$. Cum $X(p)=X(q)$ înseamnă $pA=qA$, iar $A$ nu este matricea nulă, obținem

$$X(2a+a^2)=X(2b+b^2)\iff 2a+a^2=2b+b^2.$$

$$a^2-b^2+2(a-b)=0\iff (a-b)(a+b+2)=0.$$

Numerele $a$ și $b$ sunt distincte, deci $a-b\ne 0$ și rămâne $a+b+2=0$.

Răspuns: $a+b+2=0$.