Bac 2024 M4 pedagogic august — subiect rezolvat

Q: Ce variantă s-a dat la Bac 2024 matematică M_pedagogic în sesiunea de toamnă?

În sesiunea august–septembrie 2024 (proba din 20 august) s-a extras Varianta 3, pentru candidații de la profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus.

Q: Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează?

Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Q: Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem?

Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Q: Care a fost cel mai dificil item la Bac 2024 M4 august?

De obicei II.6: cu forma de la II.5 se vede că x23=23 pentru orice x, deci tot produsul se reduce la 23.

Subiectul oficial de la Bacalaureat 2024, proba E.c) Matematică M_pedagogic (M4), sesiunea a doua (de toamnă), august–septembrie, Varianta 3, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Proba s-a susținut pe 20 august 2024, în a doua sesiune a Bacalaureatului, de candidații din filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Timpul de lucru este de 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică.

Ai rezolvat? Verifică doar răspunsurile finale ↓

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu radicali)

Arătați că

\sqrt{2} (\sqrt{2} + 3) - 3 \sqrt{2} + 2 = 4

Vezi rezolvarea

Desfacem paranteza ( $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ ), apoi reducem termenii asemenea:

$\sqrt{2} (\sqrt{2} + 3) - 3 \sqrt{2} + 2 = 2 + 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 2 = 2 + 2 = 4.$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $4$ .

Vezi și: Radicali — reguli de calcul.

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Se consideră funcțiile

f : R \to R

f (x) = 3 x + 2

și

g : R \to R

g (x) = 2 x + 3

. Determinați numărul real

m

pentru care

f (m) = g (m)

Vezi rezolvarea

$f (m) = 3 m + 2$ și $g (m) = 2 m + 3$ , pentru orice număr real $m$ , deci

$3 m + 2 = 2 m + 3 \Rightarrow m = 1.$

Răspuns: $m = 1$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație exponențială)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

2^{4 x - 3} = 2^{2 - x}

Vezi rezolvarea

Bazele sunt egale, deci egalăm exponenții:

$4 x - 3 = 2 - x \Rightarrow 5 x = 5 \Rightarrow x = 1.$

Răspuns: $x = 1$ .

Vezi și: Ecuații exponențiale.

Subiectul I.4 (5p · probabilitate)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr

n

din mulțimea

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

, numărul

2 n + 1

să aparțină mulțimii

A

Vezi rezolvarea

Mulțimea $A$ are $9$ elemente, deci sunt $9$ cazuri posibile. $2 n + 1 \in A$ când $2 n + 1 \leq 9$ , adică $n \leq 4$ : numerele $n = 1, 2, 3, 4$ (pentru care $2 n + 1 = 3, 5, 7, 9$ ), deci $4$ cazuri favorabile.

$p = \frac{4}{9} .$

Răspuns: $p = \frac{4}{9}$ .

Vezi și: Probabilități.

Subiectul I.5 (5p · aria unui triunghi în reper)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (3, 0)

și

B (0, 4)

. Calculați aria triunghiului

A O B

Vezi rezolvarea

Punctul $A$ este pe axa $O x$ , iar $B$ pe axa $O y$ , deci $A O = 3$ , $B O = 4$ , iar triunghiul $A O B$ este dreptunghic în $O$ . Aria este semiprodusul catetelor:

$A_{△ A O B} = \frac{A O \cdot B O}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6.$

Răspuns: $A_{△ A O B} = 6$ .

Vezi și: Aria triunghiului.

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Arătați că

(\sin 60^{\circ} + \sin 30^{\circ}) (\sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ}

Vezi rezolvarea

Din tabelul valorilor trigonometrice:

$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}, \sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Membrul stâng este o diferență de pătrate:

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2},$

${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} .$

Ambii membri sunt egali cu $\frac{1}{2}$ .

Răspuns: egalitatea este adevărată (ambii membri sunt $\frac{1}{2}$ ).

Vezi și: Tabel trigonometric.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = 3 x y - 2 (x + y - 1)$ .

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Arătați că

1 \circ 2 = 2

Vezi rezolvarea

$1 \circ 2 = 3 \cdot 1 \cdot 2 - 2 (1 + 2 - 1) = 6 - 4 = 2.$

Răspuns: $1 \circ 2 = 2$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 (5p · element neutru)

Arătați că

e = 1

este elementul neutru al legii de compoziție „

\circ

”.

Vezi rezolvarea

$x \circ 1 = 3 \cdot x \cdot 1 - 2 (x + 1 - 1) = 3 x - 2 x = x,$

$1 \circ x = 3 \cdot 1 \cdot x - 2 (1 + x - 1) = 3 x - 2 x = x,$

pentru orice număr real $x$ , deci $e = 1$ este elementul neutru.

Răspuns: $x \circ 1 = 1 \circ x = x$ pentru orice $x \in R$ , deci $e = 1$ .

Subiectul II.3 (5p · ecuație cu lege de compoziție)

Determinați numărul real

x

pentru care

(x \circ 2) + (x \circ 3) = 5

Vezi rezolvarea

$x \circ 2 = 6 x - 2 (x + 1) = 4 x - 2,$

$x \circ 3 = 9 x - 2 (x + 2) = 7 x - 4,$

deci $(x \circ 2) + (x \circ 3) = 11 x - 6$ , pentru orice număr real $x$ . Din $11 x - 6 = 5$ obținem $11 x = 11$ , deci $x = 1$ .

Răspuns: $x = 1$ .

Subiectul II.4 (5p · inecuație în numere naturale)

Determinați numerele naturale

n

pentru care

(3 n + 1) \circ 1 < 7

Vezi rezolvarea

Din II.2, $1$ este elementul neutru, deci $(3 n + 1) \circ 1 = 3 n + 1$ , pentru orice număr natural $n$ . Inecuația devine

$3 n + 1 < 7 \Leftrightarrow 3 n < 6 \Leftrightarrow n < 2.$

Cum $n$ este natural, $n = 0$ sau $n = 1$ .

Răspuns: $n \in {0, 1}$ .

Vezi și: Inecuații.

Subiectul II.5 (5p · forma factorizată a legii)

Demonstrați că

x \circ y = 3 (x - \frac{2}{3}) (y - \frac{2}{3}) + \frac{2}{3}

, pentru orice numere reale

x

și

y

Vezi rezolvarea

Scriem $2 = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}$ și grupăm termenii:

$\begin{aligned} x \circ y & = 3 x y - 2 x - 2 y + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 3 x (y - \frac{2}{3}) - 2 (y - \frac{2}{3}) + \frac{2}{3} \\ = (3 x - 2) (y - \frac{2}{3}) + \frac{2}{3} = 3 (x - \frac{2}{3}) (y - \frac{2}{3}) + \frac{2}{3}, \end{aligned}$

pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

Răspuns: $x \circ y = 3 (x - \frac{2}{3}) (y - \frac{2}{3}) + \frac{2}{3}$ .

Subiectul II.6 (5p · element absorbant)

Arătați că

\frac{1}{2} \circ \frac{2}{3} \circ \frac{3}{4} \circ \frac{4}{5} = \frac{2}{3}

Vezi rezolvarea

Din II.5, pentru orice număr real $x$ :

$x \circ \frac{2}{3} = 3 (x - \frac{2}{3}) \cdot 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3},$

$\frac{2}{3} \circ x = \frac{2}{3} .$

Legea fiind asociativă:

$\frac{1}{2} \circ \frac{2}{3} \circ \frac{3}{4} \circ \frac{4}{5} = (\frac{1}{2} \circ \frac{2}{3}) \circ (\frac{3}{4} \circ \frac{4}{5}) = \frac{2}{3} \circ (\frac{3}{4} \circ \frac{4}{5}) = \frac{2}{3} .$

Răspuns: rezultatul este $\frac{2}{3}$ .

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ și $A (a) = (\begin{matrix} a + 1 & - 1 \\ 1 & a - 1 \end{matrix})$ , unde $a$ este număr real.

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Arătați că

det (A (1)) = 1

Vezi rezolvarea

$A (1) = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}),$

$det (A (1)) = 2 \cdot 0 - 1 \cdot (- 1) = 0 + 1 = 1.$

Răspuns: $det (A (1)) = 1$ .

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

Subiectul III.2 (5p · operații cu matrice)

Demonstrați că

I_{2} + A (a - 1) = A (a)

, pentru orice număr real

a

Vezi rezolvarea

$I_{2} + A (a - 1) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} a & - 1 \\ 1 & a - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a + 1 & - 1 \\ 1 & a - 1 \end{matrix}) = A (a),$

pentru orice număr real $a$ .

Răspuns: $I_{2} + A (a - 1) = A (a)$ .

Subiectul III.3 (5p · ecuație cu determinant)

Determinați numerele reale

a

pentru care

det (A (a)) = a

Vezi rezolvarea

$det (A (a)) = (a + 1) (a - 1) - 1 \cdot (- 1) = a^{2} - 1 + 1 = a^{2},$

pentru orice număr real $a$ . Ecuația devine $a^{2} = a$ , adică $a (a - 1) = 0$ .

Răspuns: $a = 0$ sau $a = 1$ .

Subiectul III.4 (5p · pătratul unei matrice)

Determinați numărul real

a

pentru care

A (a) \cdot A (a) = (\begin{matrix} 8 & - 4 \\ 4 & 0 \end{matrix})

Vezi rezolvarea

Înmulțim linie cu coloană:

$A (a) \cdot A (a) = (\begin{matrix} (a + 1)^{2} - 1 & - (a + 1) - (a - 1) \\ (a + 1) + (a - 1) & - 1 + (a - 1)^{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a^{2} + 2 a & - 2 a \\ 2 a & a^{2} - 2 a \end{matrix}),$

pentru orice număr real $a$ . Din egalitatea elementelor de pe linia a doua, prima coloană: $2 a = 4$ , deci $a = 2$ . Verificare: $a^{2} + 2 a = 8$ , $- 2 a = - 4$ , $a^{2} - 2 a = 0$ . ✓

Răspuns: $a = 2$ .

Subiectul III.5 (5p · ecuație matriceală, inversa)

Determinați matricea

X \in M_{2} (R)

pentru care

X \cdot A (1) = A (2)

Vezi rezolvarea

Din III.1, $det (A (1)) = 1 \neq 0$ , deci $A (1)$ este inversabilă:

$(A (1))^{- 1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) .$

Înmulțim ecuația la dreapta cu $(A (1))^{- 1}$ : $X = A (2) \cdot (A (1))^{- 1}$ , unde $A (2) = (\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ .

$X = (\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 3 \end{matrix}) .$

Verificare: $X \cdot A (1) = (\begin{matrix} 2 + 1 & - 1 \\ - 2 + 3 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = A (2)$ . ✓

Răspuns: $X = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 3 \end{matrix})$ .

Vezi și: Matrice inversabilă — ecuații matriceale.

Subiectul III.6 (5p · inegalitate cu determinant)

Demonstrați că

det (A (a) + I_{2}) \geq 0

, pentru orice număr real

a

Vezi rezolvarea

$A (a) + I_{2} = (\begin{matrix} a + 2 & - 1 \\ 1 & a \end{matrix}),$

$det (A (a) + I_{2}) = a (a + 2) + 1 = a^{2} + 2 a + 1,$

pentru orice număr real $a$ . Recunoaștem un pătrat perfect:

$a^{2} + 2 a + 1 = (a + 1)^{2} \geq 0,$

pentru orice număr real $a$ .

Răspuns: $det (A (a) + I_{2}) = (a + 1)^{2} \geq 0$ .

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$2 + 2 = 4$ (adevărat)
I.2	$m = 1$
I.3	$x = 1$
I.4	$p = \frac{4}{9}$
I.5	$A = 6$
I.6	ambii membri $= \frac{1}{2}$ (adevărat)
II.1–II.3	1) $2$ ; 2) $e = 1$ (adevărat); 3) $x = 1$
II.4–II.6	4) $n \in {0, 1}$ ; 5) adevărat; 6) $\frac{2}{3}$
III.1–III.3	1) $1$ ; 2) adevărat; 3) $a = 0$ sau $a = 1$
III.4–III.6	4) $a = 2$ ; 5) $X = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 3 \end{matrix})$ ; 6) $(a + 1)^{2} \geq 0$

Ce s-a cerut la Bac 2024 M4, sesiunea august

Subiectul I a cuprins un calcul cu radicali, funcții de gradul I, o ecuație exponențială, o probabilitate, aria unui triunghi în reperul cartezian și valori din tabelul trigonometric. Subiectul al II-lea a fost despre legea $x \circ y = 3 x y - 2 (x + y - 1)$ (element neutru, forma factorizată, o inecuație în numere naturale), iar Subiectul al III-lea despre matrice și determinanți, inclusiv o ecuație matriceală.

Subiectul și baremul oficial (Varianta 3, proba din 20 august 2024) au fost publicate de Ministerul Educației / CNPEE în ziua probei.

Întrebări frecvente

Ce variantă s-a dat la Bac 2024 matematică M_pedagogic în sesiunea de toamnă? În sesiunea august–septembrie 2024 (proba din 20 august) s-a extras Varianta 3, pentru candidații de la profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus.

Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la Bac 2024 M4 august? De obicei II.6: cu forma de la II.5 se vede că $x \circ \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ pentru orice $x$ , deci tot produsul se reduce la $\frac{2}{3}$ .

Alte subiecte

Bac 2024 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Bac 2026 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2025 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Bacalaureat 2024 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu radicali)

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Subiectul I.3 (5p · ecuație exponențială)

Subiectul I.4 (5p · probabilitate)

Subiectul I.5 (5p · aria unui triunghi în reper)

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Subiectul II.2 (5p · element neutru)

Subiectul II.3 (5p · ecuație cu lege de compoziție)

Subiectul II.4 (5p · inecuație în numere naturale)

Subiectul II.5 (5p · forma factorizată a legii)

Subiectul II.6 (5p · element absorbant)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Subiectul III.2 (5p · operații cu matrice)

Subiectul III.3 (5p · ecuație cu determinant)

Subiectul III.4 (5p · pătratul unei matrice)

Subiectul III.5 (5p · ecuație matriceală, inversa)

Subiectul III.6 (5p · inegalitate cu determinant)

Răspunsuri pe scurt

Ce s-a cerut la Bac 2024 M4, sesiunea august

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe