Simulare Bac 2026 M4 pedagogic

Q: Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2026 M4?

De obicei III.6: ecuația A(5)· X=A(0)+3X se rescrie (A(5)-3I_2)X=A(0), iar inversa lui A(5)-3I_2 se obține direct din relația de la III.3.

Subiectul oficial de la simularea Bacalaureatului 2026, proba E.c) Matematică M_pedagogic (M4), dată marți, 24 martie 2026, elevilor de clasa a XII-a, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Simularea națională a examenului de Bacalaureat este organizată de Ministerul Educației în fiecare primăvară, cu un subiect unic pentru fiecare profil și cu aceeași structură ca la examen: filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, 3 ore de lucru, trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Nota de la simulare nu contează la media de Bacalaureat. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Subiectul din sesiunea de vară îl găsești la Bac 2026 M4 pedagogic rezolvat, iar formulele de care ai nevoie în Formule Bac matematică.

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$1, 5 + 0, 5 = 2$ (adevărat)
I.2	$m = - 3$ , $f (m) = 12$
I.3	$x = 0$ sau $x = 8$
I.4	$130$ de lei
I.5	$C (2, 0)$ , $O C = 2$
I.6	$E F = 9$ , $D F = 6 \sqrt{2}$
II.1–II.3	1) $15$ ; 2) comutativă; 3) $x = - 1$ sau $x = 1$
II.4–II.6	4) adevărat; 5) $x = - \frac{1}{2}$ ; 6) $m = \frac{1}{4}$ sau $m = 4$
III.1–III.3	1) $2$ ; 2) $x = 7$ ; 3) adevărat
III.4–III.6	4) adevărat; 5) $N = (n + 1) (n + 2)$ , par; 6) $X = (\begin{matrix} - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \\ - 1 & - 1 \end{matrix})$

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu zecimale)

Arătați că

0, 25 \cdot 6 + (3 - 0, 5) : 5 = 2

Vezi rezolvarea

Respectăm ordinea operațiilor: întâi paranteza, apoi înmulțirea și împărțirea, la final adunarea.

$0, 25 \cdot 6 = 1, 5,$

$(3 - 0, 5) : 5 = 2, 5 : 5 = 0, 5.$

$1, 5 + 0, 5 = 2.$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $2$ .

Vezi și: Fracții — operații.

Subiectul I.2 (5p · intersecția graficului cu Oy)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = x^{2} - 2 x - 3

și numărul real

m

, ordonata punctului de intersecție a graficului funcției

f

cu axa

O y

. Calculați

f (m)

Vezi rezolvarea

Graficul intersectează axa $O y$ în punctul de abscisă $0$ , deci ordonata lui este $f (0)$ :

$m = f (0) = 0 - 0 - 3 = - 3.$

$f (m) = f (- 3) = (- 3)^{2} - 2 \cdot (- 3) - 3 = 9 + 6 - 3 = 12.$

Răspuns: $f (m) = 12$ .

Vezi și: Ecuația și funcția de gradul al II-lea.

Subiectul I.3 (5p · ecuație cu radical)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

x = 2 \sqrt{2 x}

Vezi rezolvarea

Radicalul are sens pentru $2 x \geq 0$ , iar membrul drept este nenegativ, deci $x \geq 0$ . Ridicăm la pătrat:

$x^{2} = 4 \cdot 2 x = 8 x \Leftrightarrow x^{2} - 8 x = 0 \Leftrightarrow x (x - 8) = 0.$

Obținem $x = 0$ sau $x = 8$ . Verificare: $0 = 2 \sqrt{0}$ și $8 = 2 \sqrt{16} = 8$ , deci ambele soluții convin.

Răspuns: $x = 0$ sau $x = 8$ .

Vezi și: Radicali — proprietăți.

Subiectul I.4 (5p · procente, scumpiri succesive)

După o scumpire cu

20 %

, un obiect costă

600

de lei. Obiectul este scumpit din nou, cu

5 %

. Calculați diferența dintre prețul obiectului după cele două scumpiri și prețul înainte de cele două scumpiri.

Vezi rezolvarea

Fie $x$ prețul inițial (în lei). După scumpirea cu $20 %$ :

$x + \frac{20}{100} \cdot x = 600 \Leftrightarrow \frac{6 x}{5} = 600 \Rightarrow x = 500.$

A doua scumpire se aplică noului preț, $600$ de lei:

$600 + \frac{5}{100} \cdot 600 = 600 + 30 = 630.$

Diferența cerută este $630 - 500 = 130$ de lei.

Răspuns: $130$ de lei.

Vezi și: Procente — formule.

Subiectul I.5 (5p · mijlocul unui segment)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (3, 3)

B (4, 6)

și

C

, astfel încât

A

este mijlocul segmentului

B C

. Determinați lungimea segmentului

O C

Vezi rezolvarea

Coordonatele mijlocului sunt mediile coordonatelor capetelor:

$3 = \frac{4 + x_{C}}{2},$

$3 = \frac{6 + y_{C}}{2},$

de unde $x_{C} = 2$ și $y_{C} = 0$ , deci $C (2, 0)$ . Atunci

$O C = \sqrt{2^{2} + 0^{2}} = 2.$

Răspuns: $O C = 2$ .

Vezi și: Mijlocul unui segment, Distanța dintre două puncte.

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic, sinus)

Se consideră triunghiul

D E F

, dreptunghic în

D

, cu

D E = 3

și

\sin F = \frac{1}{3}

. Arătați că

D F = 6 \sqrt{2}

Vezi rezolvarea

În triunghiul dreptunghic în $D$ , ipotenuza este $E F$ , iar cateta opusă unghiului $F$ este $D E$ :

$\sin F = \frac{D E}{E F} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{3}{E F} \Rightarrow E F = 9.$

Cu teorema lui Pitagora:

$D F^{2} = E F^{2} - D E^{2} = 81 - 9 = 72 \Rightarrow D F = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2} .$

Răspuns: $D F = 6 \sqrt{2}$ .

Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Teorema lui Pitagora.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = (x - 4 y) (y - 4 x) + 4$ .

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Arătați că

1 * 3 = 15

Vezi rezolvarea

$1 * 3 = (1 - 4 \cdot 3) (3 - 4 \cdot 1) + 4 = (- 11) \cdot (- 1) + 4 = 11 + 4 = 15.$

Răspuns: $1 * 3 = 15$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 (5p · comutativitate)

Arătați că legea de compoziție „

*

” este comutativă.

Vezi rezolvarea

Schimbăm rolurile lui $x$ și $y$ și folosim comutativitatea înmulțirii numerelor reale:

$y * x = (y - 4 x) (x - 4 y) + 4 = (x - 4 y) (y - 4 x) + 4 = x * y,$

pentru orice numere reale $x$ și $y$ , deci legea „ $*$ ” este comutativă.

Răspuns: $x * y = y * x$ pentru orice $x, y \in R$ : legea este comutativă.

Vezi și: Legi de compoziție — proprietăți.

Subiectul II.3 (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Determinați numerele reale

x

pentru care

x * 0 = 0

Vezi rezolvarea

$x * 0 = (x - 0) (0 - 4 x) + 4 = - 4 x^{2} + 4,$

pentru orice număr real $x$ . Ecuația devine

$- 4 x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 1.$

Răspuns: $x = - 1$ sau $x = 1$ .

Subiectul II.4 (5p · calcul algebric)

Arătați că

x * (x + 1) = 9 x (x + 1)

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

Înlocuim $y = x + 1$ : $x - 4 (x + 1) = - 3 x - 4$ și $x + 1 - 4 x = 1 - 3 x$ . Atunci

$\begin{aligned} x * (x + 1) & = (- 3 x - 4) (1 - 3 x) + 4 \\ = - 3 x + 9 x^{2} - 4 + 12 x + 4 \\ = 9 x^{2} + 9 x = 9 x (x + 1), \end{aligned}$

pentru orice număr real $x$ .

Răspuns: $x * (x + 1) = 9 x (x + 1)$ pentru orice $x \in R$ .

Subiectul II.5 (5p · ecuație)

Determinați numărul real

x

pentru care

(x - 1) * x = (x + 1) * (x + 2)

Vezi rezolvarea

Ambii membri sunt de forma $t * (t + 1)$ , cu $t = x - 1$ , respectiv $t = x + 1$ . Din II.4:

$(x - 1) * x = 9 x (x - 1),$

$(x + 1) * (x + 2) = 9 (x + 1) (x + 2) .$

Ecuația devine $9 x (x - 1) = 9 (x + 1) (x + 2)$ , adică

$x^{2} - x = x^{2} + 3 x + 2 \Leftrightarrow - 4 x = 2 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2} .$

Răspuns: $x = - \frac{1}{2}$ .

Subiectul II.6 (5p · egalitate pentru orice x)

Determinați numerele reale

m

pentru care

x * (m x) = 4

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

$x * (m x) = (x - 4 m x) (m x - 4 x) + 4 = x^{2} (1 - 4 m) (m - 4) + 4,$

pentru orice numere reale $x$ și $m$ . Condiția $x^{2} (1 - 4 m) (m - 4) + 4 = 4$ pentru orice $x$ înseamnă $x^{2} (1 - 4 m) (m - 4) = 0$ pentru orice $x$ ; luând de exemplu $x = 1$ , obținem

$(1 - 4 m) (m - 4) = 0 \Rightarrow m = \frac{1}{4} sau m = 4,$

iar pentru aceste valori egalitatea are loc, evident, pentru orice $x$ .

Răspuns: $m = \frac{1}{4}$ sau $m = 4$ .

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ și $A (x) = (\begin{matrix} x & 2 - x \\ x - 1 & 3 - x \end{matrix})$ , unde $x$ este număr real.

Subiectul III.1 (5p · determinant de ordinul 2)

Arătați că

det (A (4)) = 2

Vezi rezolvarea

$A (4) = (\begin{matrix} 4 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{matrix}) \Rightarrow det (A (4)) = | \begin{matrix} 4 & - 2 \\ 3 & - 1 \end{matrix} | = 4 \cdot (- 1) - (- 2) \cdot 3 = - 4 + 6 = 2.$

Răspuns: $det (A (4)) = 2$ .

Vezi și: Determinanți.

Subiectul III.2 (5p · ecuație matriceală simplă)

Determinați numărul real

x

pentru care

A (3) + 3 A (x) = 4 A (6)

Vezi rezolvarea

$A (3) = (\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}),$

$A (6) = (\begin{matrix} 6 & - 4 \\ 5 & - 3 \end{matrix}) .$

Egalitatea se scrie $3 A (x) = 4 A (6) - A (3)$ , iar

$4 A (6) - A (3) = (\begin{matrix} 21 & - 15 \\ 18 & - 12 \end{matrix}) = 3 (\begin{matrix} 7 & - 5 \\ 6 & - 4 \end{matrix}) = 3 A (7) .$

Deci $3 A (x) = 3 A (7)$ , adică $A (x) = A (7)$ ; comparând elementele de pe prima poziție, $x = 7$ .

Răspuns: $x = 7$ .

Subiectul III.3 (5p · produs de matrice)

Arătați că

A (5) \cdot (3 I_{2} - A (5)) = 2 I_{2}

Vezi rezolvarea

$A (5) = (\begin{matrix} 5 & - 3 \\ 4 & - 2 \end{matrix}),$

$3 I_{2} - A (5) = (\begin{matrix} - 2 & 3 \\ - 4 & 5 \end{matrix}) .$

$A (5) \cdot (3 I_{2} - A (5)) = (\begin{matrix} - 10 + 12 & 15 - 15 \\ - 8 + 8 & 12 - 10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) = 2 I_{2} .$

Răspuns: egalitatea este adevărată.

Vezi și: Matrice și determinanți.

Subiectul III.4 (5p · determinant nul)

Arătați că

det (A (0) \cdot A (1) - A (x)) = 0

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

$A (0) = (\begin{matrix} 0 & 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix}),$

$A (1) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}),$

$A (0) \cdot A (1) = (\begin{matrix} 0 & 4 \\ - 1 & 5 \end{matrix}) .$

$A (0) \cdot A (1) - A (x) = (\begin{matrix} - x & x + 2 \\ - x & x + 2 \end{matrix}),$

pentru orice număr real $x$ . Matricea are două linii egale, deci

$det (A (0) \cdot A (1) - A (x)) = - x (x + 2) + x (x + 2) = 0.$

Răspuns: determinantul este $0$ pentru orice $x \in R$ .

Subiectul III.5 (5p · paritate)

Arătați că numărul

N = det (A (n) + n I_{2})

este natural par, pentru orice număr natural

n

Vezi rezolvarea

$A (n) + n I_{2} = (\begin{matrix} 2 n & 2 - n \\ n - 1 & 3 \end{matrix}) .$

$\begin{aligned} N & = 6 n - (2 - n) (n - 1) = 6 n - (- n^{2} + 3 n - 2) \\ = n^{2} + 3 n + 2 = (n + 1) (n + 2) . \end{aligned}$

Pentru orice număr natural $n$ , numerele $n + 1$ și $n + 2$ sunt naturale consecutive, deci unul dintre ele este par; produsul lor este un număr natural par.

Răspuns: $N = (n + 1) (n + 2)$ , produs de două numere naturale consecutive, deci natural par.

Subiectul III.6 (5p · ecuație matriceală cu inversă)

Determinați matricea

X \in M_{2} (R)

pentru care

A (5) \cdot X = A (0) + 3 X

Vezi rezolvarea

Trecem termenii cu $X$ în stânga și dăm factor comun la dreapta pe $X$ :

$A (5) \cdot X - 3 X = A (0) \Leftrightarrow (A (5) - 3 I_{2}) \cdot X = A (0) .$

Din III.3, $A (5) \cdot (3 I_{2} - A (5)) = 2 I_{2}$ , deci $(A (5) - 3 I_{2}) \cdot (- \frac{1}{2} A (5)) = I_{2}$ (matricele $A (5)$ și $I_{2}$ comută), adică

$(A (5) - 3 I_{2})^{- 1} = - \frac{1}{2} A (5) .$

Înmulțim la stânga cu această inversă:

$X = - \frac{1}{2} A (5) \cdot A (0) = - \frac{1}{2} (\begin{matrix} 5 & - 3 \\ 4 & - 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix}) = - \frac{1}{2} (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}) .$

Deci $X = (\begin{matrix} - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \\ - 1 & - 1 \end{matrix})$ . Verificare: ambii membri sunt egali cu $(\begin{matrix} - \frac{9}{2} & \frac{1}{2} \\ - 4 & 0 \end{matrix})$ , de exemplu $A (0) + 3 X = (\begin{matrix} 0 - \frac{9}{2} & 2 - \frac{3}{2} \\ - 1 - 3 & 3 - 3 \end{matrix})$ . ✓

Răspuns: $X = (\begin{matrix} - \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \\ - 1 & - 1 \end{matrix})$ .

Vezi și: Matrice inversabilă — ecuații matriceale.

Ce s-a cerut la simularea Bac 2026 M4

Subiectul I a cuprins un calcul cu numere zecimale, intersecția graficului unei funcții de gradul al II-lea cu axa $O y$ , o ecuație cu radicali, două scumpiri succesive (procente), mijlocul unui segment și un triunghi dreptunghic cu sinusul unui unghi. Subiectul al II-lea a fost despre legea de compoziție $x * y = (x - 4 y) (y - 4 x) + 4$ (comutativitate, ecuații, o egalitate valabilă pentru orice $x$ ), iar Subiectul al III-lea despre matrice și determinanți, inclusiv o ecuație matriceală rezolvată cu inversa.

Subiectul și baremul oficial ale simulării (proba din 24 martie 2026) au fost publicate de Ministerul Educației și Cercetării (Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare) în ziua probei.

Întrebări frecvente

Contează simularea Bac 2026 la nota finală? Nu. Simularea din 24 martie 2026 este doar un exercițiu de pregătire și nu intră în media de Bacalaureat. Rezultatele se comunică individual, iar nota poate fi trecută în catalog doar la cererea elevului sau a părintelui.

Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează? Proba durează 3 ore, la fel ca la examen. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2026 M4? De obicei III.6: ecuația $A (5) \cdot X = A (0) + 3 X$ se rescrie $(A (5) - 3 I_{2}) X = A (0)$ , iar inversa lui $A (5) - 3 I_{2}$ se obține direct din relația de la III.3.

Bac 2026 M4 pedagogic rezolvat (sesiunea iunie–iulie) · Simulare Bac 2025 M4 pedagogic rezolvat · Simulare Bac 2024 M4 pedagogic rezolvat

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Simulare Bac 2026 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat

Răspunsuri pe scurt

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu zecimale)

Subiectul I.2 (5p · intersecția graficului cu Oy)

Subiectul I.3 (5p · ecuație cu radical)

Subiectul I.4 (5p · procente, scumpiri succesive)

Subiectul I.5 (5p · mijlocul unui segment)

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic, sinus)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Subiectul II.2 (5p · comutativitate)

Subiectul II.3 (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Subiectul II.4 (5p · calcul algebric)

Subiectul II.5 (5p · ecuație)

Subiectul II.6 (5p · egalitate pentru orice x)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 (5p · determinant de ordinul 2)

Subiectul III.2 (5p · ecuație matriceală simplă)

Subiectul III.3 (5p · produs de matrice)

Subiectul III.4 (5p · determinant nul)

Subiectul III.5 (5p · paritate)

Subiectul III.6 (5p · ecuație matriceală cu inversă)

Ce s-a cerut la simularea Bac 2026 M4

Întrebări frecvente

Formule conexe