Bac 2022 M4 pedagogic matematică

Q: Care a fost cel mai dificil item la Bac 2022 M4?

De obicei II.6: după ce arăți la II.5 că 3*x=3 pentru orice x, asociativitatea permite să grupezi toți ceilalți termeni, iar rezultatul este 3, deci n=3.

Subiectul oficial de la Bacalaureat 2022, proba E.c) Matematică M_pedagogic (M4), sesiunea iunie–iulie, Varianta 1, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Proba s-a susținut pe 21 iunie 2022 de candidații din filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Timpul de lucru este de 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică.

Ai rezolvat? Verifică doar răspunsurile finale ↓

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · radicali)

Arătați că

\sqrt{18} + \sqrt{8} = 5 \sqrt{2}

Vezi rezolvarea

Scoatem factorii de sub radical: $18 = 9 \cdot 2$ și $8 = 4 \cdot 2$ .

$\sqrt{18} = 3 \sqrt{2},$

$\sqrt{8} = 2 \sqrt{2},$

$\sqrt{18} + \sqrt{8} = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2} .$

Răspuns: egalitatea este adevărată.

Vezi și: Radicali — reguli de calcul.

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 3 x - 2

. Determinați numărul real

a

pentru care

f (a) - f (2) = 12

Vezi rezolvarea

$f (a) = 3 a - 2,$

$f (2) = 3 \cdot 2 - 2 = 4.$

Ecuația devine $3 a - 2 - 4 = 12$ , adică $3 a - 6 = 12$ , deci $3 a = 18$ .

Răspuns: $a = 6$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · procente)

După o reducere cu

20 %

prețul unui obiect scade cu

28

de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $x$ prețul inițial (în lei). Reducerea reprezintă $20 %$ din $x$ și este egală cu $28$ de lei:

$\frac{20}{100} \cdot x = 28 \Rightarrow \frac{x}{5} = 28 \Rightarrow x = 140.$

Verificare: $20 %$ din $140$ este $28$ . ✓

Răspuns: prețul inițial era $140$ de lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

Subiectul I.4 (5p · ecuație exponențială)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

4^{2 x - 1} = 64

Vezi rezolvarea

Scriem $64 = 4^{3}$ și egalăm exponenții (funcția exponențială este injectivă):

$4^{2 x - 1} = 4^{3} \Rightarrow 2 x - 1 = 3 \Rightarrow x = 2.$

Răspuns: $x = 2$ .

Vezi și: Ecuații exponențiale, Puteri.

Subiectul I.5 (5p · dreaptă perpendiculară)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctul

A (2, 3)

și dreapta

d

de ecuație

y = 2 x + 1

. Determinați ecuația dreptei ce trece prin punctul

A

și este perpendiculară pe dreapta

d

Vezi rezolvarea

Panta dreptei $d$ este $m_{d} = 2$ . Două drepte (neverticale) sunt perpendiculare dacă produsul pantelor este $- 1$ , deci panta căutată este

$m = - \frac{1}{m_{d}} = - \frac{1}{2} .$

Ecuația dreptei prin $A (2, 3)$ cu panta $- \frac{1}{2}$ :

$y - 3 = - \frac{1}{2} (x - 2) \Rightarrow y = - \frac{1}{2} x + 4.$

Forma echivalentă: $x + 2 y - 8 = 0$ .

Răspuns: $y = - \frac{1}{2} x + 4$ (adică $x + 2 y - 8 = 0$ ).

Vezi și: Panta unei drepte, Ecuația dreptei.

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic, aria)

Se consideră triunghiul

A B C

dreptunghic în

A

cu măsura unghiului

B

30^{\circ}

și

B C = 10

. Calculați aria triunghiului

A B C

Vezi rezolvarea

Cateta opusă unghiului de $30^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză, iar cealaltă catetă rezultă din teorema lui Pitagora:

$A C = \frac{B C}{2} = 5,$

$A B = \sqrt{B C^{2} - A C^{2}} = \sqrt{100 - 25} = 5 \sqrt{3} .$

Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor:

$A_{△ A B C} = \frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{5 \cdot 5 \sqrt{3}}{2} = \frac{25 \sqrt{3}}{2} .$

Răspuns: $A_{△ A B C} = \frac{25 \sqrt{3}}{2}$ .

Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Aria triunghiului.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = x y - \sqrt{3} (x + y) + \sqrt{3} + 3$ .

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Arătați că

1 * 0 = 3

Vezi rezolvarea

$1 * 0 = 1 \cdot 0 - \sqrt{3} (1 + 0) + \sqrt{3} + 3 = 0 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3 = 3.$

Răspuns: $1 * 0 = 3$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 (5p · forma factorizată a legii)

Demonstrați că

x * y = (x - \sqrt{3}) (y - \sqrt{3}) + \sqrt{3}

, pentru orice numere reale

x

și

y

Vezi rezolvarea

Desfacem paranteza și scriem $\sqrt{3} + 3 = 3 + \sqrt{3}$ , apoi grupăm:

$\begin{aligned} x * y & = x y - \sqrt{3} x - \sqrt{3} y + 3 + \sqrt{3} \\ = x (y - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (y - \sqrt{3}) + \sqrt{3} \\ = (x - \sqrt{3}) (y - \sqrt{3}) + \sqrt{3}, \end{aligned}$

pentru orice numere reale $x$ și $y$ (am folosit $- \sqrt{3} \cdot (- \sqrt{3}) = 3$ ).

Răspuns: $x * y = (x - \sqrt{3}) (y - \sqrt{3}) + \sqrt{3}$ .

Subiectul II.3 (5p · ecuație cu lege de compoziție)

Determinați numărul real

x

pentru care

x * x = \sqrt{3}

Vezi rezolvarea

Din II.2, pentru $y = x$ :

$x * x = {(x - \sqrt{3})}^{2} + \sqrt{3} .$

Ecuația devine ${(x - \sqrt{3})}^{2} + \sqrt{3} = \sqrt{3}$ , adică ${(x - \sqrt{3})}^{2} = 0$ , deci $x - \sqrt{3} = 0$ .

Răspuns: $x = \sqrt{3}$ .

Subiectul II.4 (5p · element neutru)

Arătați că

e = \sqrt{3} + 1

este elementul neutru al legii de compoziție „

*

”.

Vezi rezolvarea

Folosim forma de la II.2. Pentru orice număr real $x$ :

$x * (\sqrt{3} + 1) = (x - \sqrt{3}) (\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = x - \sqrt{3} + \sqrt{3} = x,$

$(\sqrt{3} + 1) * x = (\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}) (x - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = x .$

Deci $x * e = e * x = x$ pentru orice $x \in R$ .

Răspuns: $e = \sqrt{3} + 1$ este elementul neutru al legii „ $*$ ”.

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Subiectul II.5 (5p · element absorbant)

Arătați că

\sqrt{3} * x = \sqrt{3}

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

$\sqrt{3} * x = (\sqrt{3} - \sqrt{3}) (x - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = 0 \cdot (x - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = \sqrt{3},$

pentru orice număr real $x$ . (Analog, $x * \sqrt{3} = \sqrt{3}$ : numărul $\sqrt{3}$ „absoarbe” orice element.)

Răspuns: $\sqrt{3} * x = \sqrt{3}$ pentru orice $x \in R$ .

Subiectul II.6 (5p · compunere repetată)

Determinați numărul natural

n

pentru care

\sqrt{3} * \sqrt{4} * \sqrt{5} * \dots * \sqrt{2022} = \sqrt{n}

Vezi rezolvarea

Legea este asociativă, deci putem grupa toți factorii de după $\sqrt{3}$ și folosim II.5 pentru $x = \sqrt{4} * \sqrt{5} * \dots * \sqrt{2022}$ :

$\sqrt{3} * (\sqrt{4} * \sqrt{5} * \dots * \sqrt{2022}) = \sqrt{3} .$

Așadar $\sqrt{n} = \sqrt{3}$ .

Răspuns: $n = 3$ .

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{matrix})$ , $B = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 3 & 1 \end{matrix})$ și $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ .

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Arătați că

det (A) = 1

Vezi rezolvarea

$det (A) = | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{matrix} | = 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0 = 1 - 0 = 1.$

Răspuns: $det (A) = 1$ .

Vezi și: Determinanți.

Subiectul III.2 (5p · produs de matrice)

Arătați că

A \cdot A - 2 A = - I_{2}

Vezi rezolvarea

$A \cdot A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 6 & 1 \end{matrix}),$

$2 A = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 6 & 2 \end{matrix}),$

$A \cdot A - 2 A = (\begin{matrix} 1 - 2 & 0 \\ 6 - 6 & 1 - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) = - I_{2} .$

Răspuns: $A \cdot A - 2 A = - I_{2}$ .

Subiectul III.3 (5p · matrice inverse)

Arătați că

A \cdot B = B \cdot A = I_{2}

Vezi rezolvarea

$A \cdot B = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 3 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 - 3 & 1 \end{matrix}) = I_{2},$

$B \cdot A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 3 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 3 + 3 & 1 \end{matrix}) = I_{2} .$

Deci $B$ este inversa matricei $A$ .

Răspuns: $A \cdot B = B \cdot A = I_{2}$ .

Vezi și: Matrice inversabilă.

Subiectul III.4 (5p · ecuație cu determinant)

Determinați numărul real

a

pentru care

det (A - a I_{2}) = 0

Vezi rezolvarea

$A - a I_{2} = (\begin{matrix} 1 - a & 0 \\ 3 & 1 - a \end{matrix}),$

$det (A - a I_{2}) = (1 - a)^{2} - 3 \cdot 0 = (1 - a)^{2},$

pentru orice număr real $a$ . Din $(1 - a)^{2} = 0$ obținem $1 - a = 0$ .

Răspuns: $a = 1$ .

Subiectul III.5 (5p · determinantul unui multiplu)

Determinați numerele reale

m

pentru care

det (m (A + B)) = m \cdot det (A + B)

Vezi rezolvarea

$A + B = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}),$

$m (A + B) = (\begin{matrix} 2 m & 0 \\ 0 & 2 m \end{matrix}) .$

$det (m (A + B)) = 4 m^{2},$

$m \cdot det (A + B) = m \cdot 4 = 4 m .$

Ecuația devine $4 m^{2} = 4 m$ , adică $4 m (m - 1) = 0$ .

Răspuns: $m = 0$ sau $m = 1$ .

Subiectul III.6 (5p · egalitate de matrice)

Determinați numerele reale

x

și

y

, știind că

x A + y B = 2 I_{2}

Vezi rezolvarea

$x A + y B = (\begin{matrix} x & 0 \\ 3 x & x \end{matrix}) + (\begin{matrix} y & 0 \\ - 3 y & y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x + y & 0 \\ 3 x - 3 y & x + y \end{matrix}) .$

Egalăm cu $2 I_{2} = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})$ element cu element: $x + y = 2$ și $3 x - 3 y = 0$ . Din a doua, $x = y$ , apoi $2 x = 2$ .

Răspuns: $x = 1$ și $y = 1$ .

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$ (adevărat)
I.2	$a = 6$
I.3	$140$ de lei
I.4	$x = 2$
I.5	$y = - \frac{1}{2} x + 4$
I.6	$\frac{25 \sqrt{3}}{2}$
II.1–II.3	1) $3$ ; 2) adevărat; 3) $x = \sqrt{3}$
II.4–II.6	4) adevărat; 5) adevărat; 6) $n = 3$
III.1–III.3	1) $1$ ; 2) adevărat; 3) adevărat
III.4–III.6	4) $a = 1$ ; 5) $m \in {0, 1}$ ; 6) $x = y = 1$

Ce s-a cerut la Bac 2022 M4

Subiectul I a cuprins un calcul cu radicali, o ecuație cu funcția de gradul I, o reducere de preț (procente), o ecuație exponențială, ecuația unei drepte perpendiculare și aria unui triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ}$ . Subiectul al II-lea a fost despre legea $x * y = (x - \sqrt{3}) (y - \sqrt{3}) + \sqrt{3}$ (element neutru, element absorbant, compunere repetată), iar Subiectul al III-lea despre matrice și determinanți.

Subiectul și baremul oficial (Varianta 1, proba din 21 iunie 2022) au fost publicate de Ministerul Educației / CNPEE în ziua probei, pe subiecte.edu.ro. Prima versiune a baremului conținea greșeli (de exemplu la I.2 și ordinea itemilor de la Subiectul al III-lea); CNPEE a republicat în aceeași zi baremul corectat, pe care îl urmează rezolvările de mai sus.

Întrebări frecvente

Ce variantă s-a dat la Bac 2022 la matematică M_pedagogic? În sesiunea iunie–iulie 2022 (proba din 21 iunie) s-a extras Varianta 1, pentru candidații de la profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus.

Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la Bac 2022 M4? De obicei II.6: după ce arăți la II.5 că $\sqrt{3} * x = \sqrt{3}$ pentru orice $x$ , asociativitatea permite să grupezi toți ceilalți termeni, iar rezultatul este $\sqrt{3}$ , deci $n = 3$ .

Alte subiecte M4 pedagogic rezolvate: Bac 2026 M4 · Bac 2025 M4 · Bac 2024 M4 · Bac 2023 M4 · Bac 2021 M4 · Bac 2020 M4

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Bacalaureat 2022 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · radicali)

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Subiectul I.3 (5p · procente)

Subiectul I.4 (5p · ecuație exponențială)

Subiectul I.5 (5p · dreaptă perpendiculară)

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic, aria)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Subiectul II.2 (5p · forma factorizată a legii)

Subiectul II.3 (5p · ecuație cu lege de compoziție)

Subiectul II.4 (5p · element neutru)

Subiectul II.5 (5p · element absorbant)

Subiectul II.6 (5p · compunere repetată)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Subiectul III.2 (5p · produs de matrice)

Subiectul III.3 (5p · matrice inverse)

Subiectul III.4 (5p · ecuație cu determinant)

Subiectul III.5 (5p · determinantul unui multiplu)

Subiectul III.6 (5p · egalitate de matrice)

Răspunsuri pe scurt

Ce s-a cerut la Bac 2022 M4

Întrebări frecvente

Formule conexe