Bac 2022 M4 pedagogic august — subiect rezolvat

Q: Care a fost cel mai dificil item la Bac 2022 M4 august?

De obicei II.6: cu forma x y=(x+5)(y+5)-18, ecuația devine (a+5)(b+5)=-1, iar două numere întregi au produsul -1 doar dacă sunt 1 și -1.

Subiectul oficial de la Bacalaureat 2022, proba E.c) Matematică M_pedagogic (M4), sesiunea a doua (de toamnă), august–septembrie, Varianta 7, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Proba s-a susținut pe 17 august 2022, în a doua sesiune a Bacalaureatului, de candidații din filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Timpul de lucru este de 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică.

Ai rezolvat? Verifică doar răspunsurile finale ↓

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · logaritmi)

Arătați că

\log_{2} 16 - \log_{2} 8 + \log_{2} 1 = 1

Vezi rezolvarea

$\log_{2} 16 = 4 (2^{4} = 16), \log_{2} 8 = 3 (2^{3} = 8), \log_{2} 1 = 0.$

$\log_{2} 16 - \log_{2} 8 + \log_{2} 1 = 4 - 3 + 0 = 1.$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $1$ .

Vezi și: Logaritmi, Calculator logaritmi.

Subiectul I.2 (5p · punct pe graficul unei funcții)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 5 x + 7

. Determinați numărul real

m

pentru care punctul

A (m, 2022)

aparține graficului funcției

f

Vezi rezolvarea

Punctul $A (m, 2022)$ este pe grafic dacă și numai dacă $f (m) = 2022$ :

$5 m + 7 = 2022 \Rightarrow 5 m = 2015 \Rightarrow m = 403.$

Răspuns: $m = 403$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație irațională)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\sqrt{5 x - 2} = \sqrt{3}

Vezi rezolvarea

Ridicăm la pătrat ambii membri (ambii sunt nenegativi):

$5 x - 2 = 3 \Rightarrow 5 x = 5 \Rightarrow x = 1.$

Verificare: $\sqrt{5 \cdot 1 - 2} = \sqrt{3}$ , deci $x = 1$ convine.

Răspuns: $x = 1$ .

Vezi și: Radicali, Fișă: ecuații iraționale.

Subiectul I.4 (5p · scumpiri succesive)

După două scumpiri succesive cu

20 %

prețul unui obiect este de

180

lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $x$ prețul inițial (în lei). După prima scumpire cu $20 %$ :

$x + \frac{20}{100} \cdot x = \frac{6 x}{5} .$

A doua scumpire se aplică noului preț:

$\frac{6 x}{5} + \frac{20}{100} \cdot \frac{6 x}{5} = \frac{36 x}{25},$

$\frac{36 x}{25} = 180 \Rightarrow x = 125.$

Verificare: $125 \to 150 \to 180$ lei. ✓

Răspuns: prețul inițial era $125$ de lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

Subiectul I.5 (5p · ecuația dreptei prin două puncte)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (6, 7)

și

B (2, 5)

. Determinați ecuația dreptei

A B

Vezi rezolvarea

Ecuația dreptei determinate de două puncte:

$\frac{x - x_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{y - y_{A}}{y_{B} - y_{A}} \Rightarrow \frac{x - 6}{2 - 6} = \frac{y - 7}{5 - 7} .$

$\frac{x - 6}{- 4} = \frac{y - 7}{- 2} \Rightarrow x - 6 = 2 (y - 7) \Rightarrow x - 2 y + 8 = 0.$

Verificare: $6 - 14 + 8 = 0$ și $2 - 10 + 8 = 0$ . ✓

Răspuns: $A B : x - 2 y + 8 = 0$ .

Vezi și: Ecuația dreptei, Calculator ecuația dreptei.

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Arătați că

(\sin 45^{\circ} - \sin 30^{\circ}) (\sin 45^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{1}{4}

Vezi rezolvarea

$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2},$

$\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Folosim formula $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ :

$(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} .$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $\frac{1}{4}$ .

Vezi și: Tabel trigonometric.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x y + 5 (x + y) + 7$ .

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Arătați că

(- 2) \circ 2 = 3

Vezi rezolvarea

$(- 2) \circ 2 = - 2 \cdot 2 + 5 (- 2 + 2) + 7 = - 4 + 0 + 7 = 3.$

Răspuns: $(- 2) \circ 2 = 3$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 (5p · comutativitate)

Arătați că legea de compoziție „

\circ

” este comutativă.

Vezi rezolvarea

$x \circ y = x y + 5 (x + y) + 7 = y x + 5 (y + x) + 7 = y \circ x,$

pentru orice numere reale $x$ și $y$ , deci legea este comutativă.

Răspuns: $x \circ y = y \circ x$ pentru orice $x, y \in R$ : legea este comutativă.

Subiectul II.3 (5p · forma factorizată)

Demonstrați că

x \circ y = (x + 5) (y + 5) - 18

, pentru orice numere reale

x

și

y

Vezi rezolvarea

Scriem $7 = 25 - 18$ și grupăm:

$\begin{aligned} x \circ y & = x y + 5 x + 5 y + 25 - 18 \\ = x (y + 5) + 5 (y + 5) - 18 = (x + 5) (y + 5) - 18, \end{aligned}$

pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

Răspuns: $x \circ y = (x + 5) (y + 5) - 18$ , pentru orice $x, y \in R$ .

Subiectul II.4 (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Determinați numerele reale

x

pentru care

x \circ x = 7

Vezi rezolvarea

$x \circ x = x^{2} + 10 x + 7 = 7 \Rightarrow x^{2} + 10 x = 0 \Rightarrow x (x + 10) = 0.$

Răspuns: $x = 0$ sau $x = - 10$ .

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

Subiectul II.5 (5p · identitate cu legea de compoziție)

Demonstrați că

((- x) \circ (- y)) + ((- x) \circ y) + (x \circ (- y)) + (x \circ y) = 28

, pentru orice numere reale

x

și

y

Vezi rezolvarea

Calculăm fiecare termen, pentru orice numere reale $x$ și $y$ :

$\begin{aligned} (- x) \circ (- y) & = x y - 5 x - 5 y + 7, \\ (- x) \circ y & = - x y - 5 x + 5 y + 7, \\ x \circ (- y) & = - x y + 5 x - 5 y + 7, \\ x \circ y & = x y + 5 x + 5 y + 7. \end{aligned}$

La adunare, termenii în $x y$ , $x$ și $y$ se reduc, iar constantele dau $4 \cdot 7 = 28$ .

Răspuns: suma este $28$ , pentru orice $x, y \in R$ .

Subiectul II.6 (5p · ecuație în numere întregi)

Determinați perechile

(a, b)

de numere întregi pentru care

a \circ b = - 19

Vezi rezolvarea

Din II.3:

$(a + 5) (b + 5) - 18 = - 19 \Rightarrow (a + 5) (b + 5) = - 1.$

Cum $a + 5$ și $b + 5$ sunt numere întregi cu produsul $- 1$ , avem $a + 5 = - 1, b + 5 = 1$ sau $a + 5 = 1, b + 5 = - 1$ .

Răspuns: $(a, b) \in {(- 6, - 4), (- 4, - 6)}$ .

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , $A = (\begin{matrix} 5 & 5 \\ - 4 & - 4 \end{matrix})$ și $X (a) = I_{2} + a A$ , unde $a$ este număr real.

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Arătați că

det A = 0

Vezi rezolvarea

$det A = | \begin{matrix} 5 & 5 \\ - 4 & - 4 \end{matrix} | = 5 \cdot (- 4) - 5 \cdot (- 4) = - 20 + 20 = 0.$

Răspuns: $det A = 0$ .

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant.

Subiectul III.2 (5p · produs de matrice)

Arătați că

A \cdot A = A

Vezi rezolvarea

$A \cdot A = (\begin{matrix} 25 - 20 & 25 - 20 \\ - 20 + 16 & - 20 + 16 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 & 5 \\ - 4 & - 4 \end{matrix}) = A .$

Răspuns: $A \cdot A = A$ .

Subiectul III.3 (5p · sumă de matrice)

Arătați că

X (- 1) + X (1) = 2 I_{2}

Vezi rezolvarea

$X (- 1) = I_{2} - A,$

$X (1) = I_{2} + A,$

deci $X (- 1) + X (1) = I_{2} - A + I_{2} + A = 2 I_{2}$ .

Răspuns: $X (- 1) + X (1) = 2 I_{2}$ .

Subiectul III.4 (5p · produs de matrice)

Demonstrați că

X (a) \cdot X (- 1) = X (- 1)

, pentru orice număr real

a

Vezi rezolvarea

Folosim $A \cdot A = A$ (III.2):

$\begin{aligned} X (a) \cdot X (- 1) & = (I_{2} + a A) (I_{2} - A) = I_{2} - A + a A - a A^{2} \\ = I_{2} - A + a A - a A = I_{2} - A = X (- 1), \end{aligned}$

pentru orice număr real $a$ .

Răspuns: $X (a) \cdot X (- 1) = X (- 1)$ , pentru orice $a \in R$ .

Subiectul III.5 (5p · matrice neinversabilă)

Determinați valorile reale ale lui

a

pentru care matricea

X (a)

nu este inversabilă.

Vezi rezolvarea

$X (a) = (\begin{matrix} 1 + 5 a & 5 a \\ - 4 a & 1 - 4 a \end{matrix}),$

$det (X (a)) = (1 + 5 a) (1 - 4 a) - 5 a (- 4 a) = 1 + a - 20 a^{2} + 20 a^{2} = 1 + a,$

pentru orice număr real $a$ . Matricea nu este inversabilă dacă și numai dacă $det (X (a)) = 0$ , adică $1 + a = 0$ .

Răspuns: $a = - 1$ .

Vezi și: Matrice inversabilă.

Subiectul III.6 (5p · inecuație cu determinant)

Determinați valorile reale ale lui

a

pentru care

det (X (a^{2})) \leq 10

Vezi rezolvarea

Din III.5, $det (X (t)) = 1 + t$ ; pentru $t = a^{2}$ :

$det (X (a^{2})) = a^{2} + 1 \leq 10 \Rightarrow a^{2} \leq 9 \Rightarrow - 3 \leq a \leq 3.$

Răspuns: $a \in [- 3, 3]$ .

Vezi și: Inecuații.

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$4 - 3 + 0 = 1$ (adevărat)
I.2	$m = 403$
I.3	$x = 1$
I.4	$125$ de lei
I.5	$x - 2 y + 8 = 0$
I.6	$\frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ (adevărat)
II.1–II.3	1) $3$ ; 2) adevărat; 3) adevărat
II.4–II.6	4) $x = 0$ sau $x = - 10$ ; 5) $28$ ; 6) $(- 6, - 4)$ și $(- 4, - 6)$
III.1–III.3	1) $0$ ; 2) adevărat; 3) adevărat
III.4–III.6	4) adevărat; 5) $a = - 1$ ; 6) $a \in [- 3, 3]$

Ce s-a cerut la Bac 2022 M4, sesiunea august

Subiectul I a cuprins un calcul cu logaritmi, un punct pe graficul unei funcții de gradul I, o ecuație cu radicali, două scumpiri succesive (procente), ecuația unei drepte și valori din tabelul trigonometric. Subiectul al II-lea a fost despre legea $x \circ y = (x + 5) (y + 5) - 18$ (comutativitate, ecuații, perechi de numere întregi), iar Subiectul al III-lea despre matrice și determinanți, cu matricea $A$ pentru care $A^{2} = A$ .

Subiectul și baremul oficial (Varianta 7, proba din 17 august 2022) au fost publicate de Ministerul Educației / CNPEE în ziua probei, în arhiva sesiunii august 2022 de pe subiecte.edu.ro.

Întrebări frecvente

Ce variantă s-a dat la Bac 2022 matematică M_pedagogic în sesiunea de toamnă? În sesiunea august–septembrie 2022 (proba din 17 august) s-a extras Varianta 7, pentru candidații de la profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus.

Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la Bac 2022 M4 august? De obicei II.6: cu forma $x \circ y = (x + 5) (y + 5) - 18$ , ecuația devine $(a + 5) (b + 5) = - 1$ , iar două numere întregi au produsul $- 1$ doar dacă sunt $1$ și $- 1$ .

Alte subiecte

Bac 2022 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Bac 2026 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2025 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2024 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2023 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2021 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2020 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Bacalaureat 2022 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · logaritmi)

Subiectul I.2 (5p · punct pe graficul unei funcții)

Subiectul I.3 (5p · ecuație irațională)

Subiectul I.4 (5p · scumpiri succesive)

Subiectul I.5 (5p · ecuația dreptei prin două puncte)

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Subiectul II.2 (5p · comutativitate)

Subiectul II.3 (5p · forma factorizată)

Subiectul II.4 (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Subiectul II.5 (5p · identitate cu legea de compoziție)

Subiectul II.6 (5p · ecuație în numere întregi)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Subiectul III.2 (5p · produs de matrice)

Subiectul III.3 (5p · sumă de matrice)

Subiectul III.4 (5p · produs de matrice)

Subiectul III.5 (5p · matrice neinversabilă)

Subiectul III.6 (5p · inecuație cu determinant)

Răspunsuri pe scurt

Ce s-a cerut la Bac 2022 M4, sesiunea august

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe