Bacalaureat 2020 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Termenul general al unei progresii aritmetice este $a_n=a_1+(n-1)r$, deci

$$a_3=a_1+2r=5+2\cdot (-2)=1.$$

Răspuns: $a_3=1$.

Vezi și: Progresia aritmetică.

Punctul $A(1,2)$ aparține graficului dacă $f(1)=2$:

$$f(1)=1+a+3=2\Rightarrow a+4=2\Rightarrow a=-2.$$

Răspuns: $a=-2$.

Vezi și: Funcția și ecuația de gradul al II-lea.

Ridicăm la pătrat: $x=x^2-2$, adică

$$x^2-x-2=0\iff (x+1)(x-2)=0,$$

cu soluțiile $x=-1$ și $x=2$. Verificăm condițiile de existență $x\ge 0$ și $x^2-2\ge 0$:

• $x=-1$ nu convine, deoarece $\sqrt{-1}$ nu are sens în $\mathbb{R}$;

• $x=2$ convine: $\sqrt{2}=\sqrt{4-2}$. ✓

Răspuns: $x=2$.

Vezi și: Ecuații iraționale — fișă de lucru.

Notăm cu $x$ prețul unui creion (în lei). Atunci pixul costă $5x$, iar stiloul costă de șapte ori mai mult decât pixul, adică $7\cdot 5x=35x$:

$$35x=70\Rightarrow x=2.$$

Verificare: creionul $2$ lei, pixul $10$ lei, stiloul $70$ de lei. ✓

Răspuns: un creion costă $2$ lei.

$ABCD$ este paralelogram, deci, după regula paralelogramului,

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.$$

Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc, deci $O$ este mijlocul segmentului $AC$ și

$$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}).$$

Răspuns: egalitatea este adevărată.

Vezi și: Vectori, Vectori în plan — fișă de lucru.

Din teorema lui Pitagora, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, iar $AC=2AB$:

$$25=A{B}^2+4A{B}^2=5A{B}^2\Rightarrow A{B}^2=5\Rightarrow AB=\sqrt{5},AC=2\sqrt{5}.$$

$$P_{\mathrm{△}ABC}=AB+BC+AC=\sqrt{5}+5+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}+5.$$

Răspuns: $P_{\mathrm{△}ABC}=3\sqrt{5}+5$.

Vezi și: Teorema lui Pitagora.

$$1\circ 2=1^2-1\cdot 2+2^2=1-2+4=3.$$

Răspuns: $1\circ 2=3$.

Vezi și: Legi de compoziție.

Pentru orice numere reale $x$ și $y$, folosind comutativitatea adunării și a înmulțirii numerelor reale:

$$x\circ y=x^2-xy+y^2=y^2-yx+x^2=y\circ x.$$

Răspuns: legea „$\circ$” este comutativă.

$$1\circ 3=1-3+9=7,$$

$$a=7\circ 2=49-14+4=39,$$

$$3\circ 2=9-6+4=7,$$

$$b=1\circ 7=1-7+49=43.$$

$$b-a=43-39=4.$$

(Rezultatul arată că legea „$\circ$” nu este asociativă.)

Răspuns: $b-a=4$.

$$x\circ x=x^2-x^2+x^2=x^2,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine $x^2=4$.

Răspuns: $x=-2$ sau $x=2$.

Formăm un pătrat perfect, scriind $y^2=\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}$:

$$\begin{array}{rl}x\circ y=0& \iff x^2-xy+\frac{y^2}{4}+\frac{3y^2}{4}=0\\ & \iff {(x-\frac{y}{2})}^2+\frac{3y^2}{4}=0.\end{array}$$

O sumă de două numere nenegative este $0$ doar dacă ambele sunt $0$: $x-\frac{y}{2}=0$ și $y=0$, de unde $x=0$.

Răspuns: $x=y=0$.

$$3\circ 2^x=9-3\cdot 2^x+2^{2x},$$

deci ecuația este $2^{2x}-3\cdot 2^x+2=0$. Cu notația $t=2^x>0$: $t^2-3t+2=0$, adică $(t-1)(t-2)=0$:

$$(2^x-1)(2^x-2)=0\Rightarrow 2^x=1\text{ sau }{2}^x=2.$$

Răspuns: $x=0$ sau $x=1$.

Vezi și: Ecuații exponențiale.

$$A(5)=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& 1\end{array}\right),$$

$$det(A(5))=1\cdot 1-5\cdot 0=1.$$

Răspuns: $det(A(5))=1$.

Vezi și: Determinanți.

$$A(1)+A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 2\end{array}\right),$$

$$det(A(1)+A(2))=2\cdot 2-3\cdot 0=4.$$

Răspuns: $det(A(1)+A(2))=4$.

$$A(a)\cdot A(b)=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& b+a\\ 0& 1\end{array}\right)=A(a+b),$$

pentru orice numere reale $a$ și $b$.

Răspuns: $A(a)\cdot A(b)=A(a+b)$.

Din III.3:

$$A(a)\cdot A(2a)=A(a+2a)=A(3a),$$

pentru orice număr real $a$. Din $A(3a)=A(30)$ (egalăm elementele din colțul dreapta-sus) obținem $3a=30$.

Răspuns: $a=10$.

$$I_2+xA(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}x& x^2\\ 0& x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+x& x^2\\ 0& 1+x\end{array}\right),$$

deci $det(I_2+xA(x))=(1+x{)}^2$, pentru orice număr real $x$. Din $(1+x{)}^2=25$ rezultă $1+x=5$ sau $1+x=-5$.

Răspuns: $x=-6$ sau $x=4$.

Din III.3, $A(n)\cdot A(n)=A(n+n)=A(2n)$. Egalitatea $A(2n)=A\left(2n^2\right)$ are loc dacă și numai dacă

$$2n=2n^2\iff 2n(n-1)=0\Rightarrow n=0\text{ sau }n=1,$$

ambele numere naturale, deci convin.

Răspuns: $n=0$ sau $n=1$.