Simulare Bac 2025 M4 pedagogic

Q: Contează simularea Bac 2025 la nota finală?

Nu. Simularea din martie 2025 este un exercițiu de pregătire și nu intră în media de Bacalaureat; rezultatele se comunică individual, iar nota poate fi trecută în catalog doar la cererea elevului sau a părintelui.

Q: Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează?

Proba durează 3 ore, la fel ca la examen. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Q: Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem?

Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Q: Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2025 M4?

De obicei II.4: cu forma de la II.2 se ajunge la (m-6)(n-6)=41; fiind 41 prim, rămân doar două descompuneri compatibile cu m n.

Subiectul oficial de la simularea Bacalaureatului 2025, proba E.c) Matematică M_pedagogic (M4), dată marți, 25 martie 2025, elevilor de clasa a XII-a, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Simularea națională a examenului de Bacalaureat este organizată de Ministerul Educației în fiecare primăvară, cu un subiect unic pentru fiecare profil și cu aceeași structură ca la examen: filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, 3 ore de lucru, trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Nota de la simulare nu contează la media de Bacalaureat. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Subiectul din sesiunea de vară îl găsești la Bac 2025 M4 pedagogic rezolvat, iar formulele de care ai nevoie în Formule Bac matematică.

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$10 - 2 = 8$ (adevărat)
I.2	$x = 4$
I.3	$x = 3$
I.4	$567$ de lei
I.5	$D (3, 4)$ , $O D = D C = 5$
I.6	$B C = 3 A C$ , $A C = \sqrt{2}$
II.1–II.3	1) $5$ ; 2) adevărat; 3) $x = - 3$
II.4–II.6	4) $(- 35, 5)$ și $(7, 47)$ ; 5) $x = - 1$ sau $x = 11$ ; 6) $(- 12, - 6, 0)$ și $(6, 12, 18)$
III.1–III.3	1) $2$ ; 2) adevărat; 3) $a = 1$
III.4–III.6	4) adevărat; 5) $x = 1$ ; 6) $N = 3 (1 - 2 m + 2 n)^{2}$

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu radicali)

Arătați că

\sqrt{5} (2 \sqrt{5} + \sqrt{10}) - 2 - 5 \sqrt{2} = 8

Vezi rezolvarea

Desfacem paranteza: $\sqrt{5} \cdot 2 \sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10$ și $\sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ .

$\begin{aligned} \sqrt{5} (2 \sqrt{5} + \sqrt{10}) - 2 - 5 \sqrt{2} & = 10 + 5 \sqrt{2} - 2 - 5 \sqrt{2} \\ = 10 - 2 = 8. \end{aligned}$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $8$ .

Vezi și: Radicali — proprietăți.

Subiectul I.2 (5p · intersecția a două grafice)

Se consideră funcțiile

f : R \to R

f (x) = 3 x - 1

și

g : R \to R

g (x) = x + 7

. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor

f

și

g

Vezi rezolvarea

Abscisa punctului de intersecție verifică $f (x) = g (x)$ :

$3 x - 1 = x + 7 \Leftrightarrow 2 x = 8 \Leftrightarrow x = 4.$

Răspuns: abscisa este $x = 4$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație exponențială)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

3^{3 x} \cdot \frac{1}{3^{3}} = 9^{x}

Vezi rezolvarea

Scriem ambii membri ca puteri ale lui $3$ : $3^{3 x} \cdot 3^{- 3} = 3^{3 x - 3}$ și $9^{x} = 3^{2 x}$ .

$3^{3 x - 3} = 3^{2 x} \Rightarrow 3 x - 3 = 2 x \Rightarrow x = 3.$

Răspuns: $x = 3$ .

Vezi și: Puteri — reguli de calcul, Ecuații exponențiale.

Subiectul I.4 (5p · procente, reduceri succesive)

În cadrul unei campanii promoționale toate produsele se vând cu

70 %

din prețul afișat la raft, iar produsele electronice sunt ieftinite cu încă

10 %

din noul preț. Determinați prețul de vânzare în cadrul campaniei al unui produs electronic cu prețul afișat la raft de

900

de lei.

Vezi rezolvarea

Prețul în campanie este $70 %$ din prețul de raft:

$\frac{70}{100} \cdot 900 = 630 de lei .$

Ieftinirea cu încă $10 %$ se aplică noului preț, $630$ de lei:

$630 - \frac{10}{100} \cdot 630 = 630 - 63 = 567 de lei .$

Răspuns: $567$ de lei.

Vezi și: Procente — formule.

Subiectul I.5 (5p · mijloc, distanțe, triunghi isoscel)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (1, 5)

B (5, 3)

C (8, 4)

și

D

, mijlocul segmentului

A B

. Arătați că triunghiul

O D C

este isoscel.

Vezi rezolvarea

Mijlocul segmentului $A B$ :

$x_{D} = \frac{1 + 5}{2} = 3,$

$y_{D} = \frac{5 + 3}{2} = 4,$

deci $D (3, 4)$ . Calculăm lungimile laturilor din $D$ :

$O D = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5,$

$D C = \sqrt{(8 - 3)^{2} + (4 - 4)^{2}} = 5.$

Cum $O D = D C$ , triunghiul $O D C$ este isoscel (cu baza $O C$ ).

Răspuns: $O D = D C = 5$ , deci triunghiul $O D C$ este isoscel.

Vezi și: Mijlocul unui segment, Distanța dintre două puncte.

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic, sinus)

Se consideră triunghiul

A B C

dreptunghic în

A

, cu

A B = 4

și

\sin B = \frac{1}{3}

. Arătați că

A C = \sqrt{2}

Vezi rezolvarea

Cateta opusă unghiului $B$ este $A C$ , iar ipotenuza este $B C$ :

$\sin B = \frac{A C}{B C} = \frac{1}{3} \Rightarrow B C = 3 A C .$

Cu teorema lui Pitagora, $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ :

$4^{2} + A C^{2} = 9 A C^{2} \Rightarrow 8 A C^{2} = 16 \Rightarrow A C^{2} = 2 \Rightarrow A C = \sqrt{2} .$

Răspuns: $A C = \sqrt{2}$ .

Vezi și: Triunghiul dreptunghic, Teorema lui Pitagora.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x + y - \frac{x y}{6} + 1$ .

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Arătați că

2 \circ 3 = 5

Vezi rezolvarea

$2 \circ 3 = 2 + 3 - \frac{2 \cdot 3}{6} + 1 = 5 - 1 + 1 = 5.$

Răspuns: $2 \circ 3 = 5$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 (5p · forma factorizată a legii)

Arătați că

x \circ y = 7 - \frac{1}{6} (x - 6) (y - 6)

, pentru orice numere reale

x

și

y

Vezi rezolvarea

Scriem $1 = - 6 + 7$ și grupăm termenii:

$\begin{aligned} x \circ y & = x - \frac{x y}{6} + y - 6 + 7 = - \frac{x}{6} (y - 6) + (y - 6) + 7 \\ = (y - 6) (- \frac{x}{6} + 1) + 7 = 7 - \frac{1}{6} (x - 6) (y - 6), \end{aligned}$

pentru orice numere reale $x$ și $y$ , deoarece $- \frac{x}{6} + 1 = - \frac{1}{6} (x - 6)$ .

Răspuns: $x \circ y = 7 - \frac{1}{6} (x - 6) (y - 6)$ .

Subiectul II.3 (5p · ecuație de gradul I)

Determinați numărul real

x

pentru care

x \circ 4 = 4

Vezi rezolvarea

$x \circ 4 = x + 4 - \frac{4 x}{6} + 1 = \frac{x}{3} + 5,$

pentru orice număr real $x$ . Ecuația devine $\frac{x}{3} + 5 = 4$ , adică $\frac{x}{3} = - 1$ .

Răspuns: $x = - 3$ .

Subiectul II.4 (5p · ecuație în numere întregi)

Determinați perechile

(m, n)

de numere întregi, cu

m < n

, pentru care

m \circ n = \frac{1}{6}

Vezi rezolvarea

Din II.2:

$7 - \frac{1}{6} (m - 6) (n - 6) = \frac{1}{6} \Leftrightarrow 42 - (m - 6) (n - 6) = 1 \Leftrightarrow (m - 6) (n - 6) = 41.$

Numărul $41$ este prim, iar $m - 6$ și $n - 6$ sunt întregi cu $m - 6 < n - 6$ , deci avem doar două posibilități:

• $m - 6 = 1$ , $n - 6 = 41$ : $m = 7$ , $n = 47$ ;

• $m - 6 = - 41$ , $n - 6 = - 1$ : $m = - 35$ , $n = 5$ .

Răspuns: $(m, n) \in {(- 35, 5), (7, 47)}$ .

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Subiectul II.5 (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Determinați numerele reale

x

pentru care

(0 \circ x) \circ (x + 1) = 1

Vezi rezolvarea

$0 \circ x = 0 + x - 0 + 1 = x + 1$ , deci, folosind forma de la II.2,

$(0 \circ x) \circ (x + 1) = (x + 1) \circ (x + 1) = 7 - \frac{1}{6} (x - 5)^{2},$

pentru orice număr real $x$ . Ecuația devine

$7 - \frac{1}{6} (x - 5)^{2} = 1 \Leftrightarrow (x - 5)^{2} = 36 \Leftrightarrow x - 5 = \pm 6.$

Răspuns: $x = - 1$ sau $x = 11$ .

Subiectul II.6 (5p · lege de compoziție și progresie aritmetică)

Determinați tripletele

(a, b, c)

de numere reale, știind că numerele

a

b

și

c

sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cu rația

6

și

b \circ c = - 5

Vezi rezolvarea

Progresia are rația $6$ , deci $a = b - 6$ și $c = b + 6$ . Din II.2:

$b \circ c = 7 - \frac{1}{6} (b - 6) (c - 6) = 7 - \frac{1}{6} (b - 6) \cdot b = - 5 \Leftrightarrow b (b - 6) = 72.$

$b^{2} - 6 b - 72 = 0 \Leftrightarrow (b - 12) (b + 6) = 0 \Rightarrow b = - 6 sau b = 12.$

Pentru $b = - 6$ : $a = - 12$ , $c = 0$ ; pentru $b = 12$ : $a = 6$ , $c = 18$ .

Răspuns: $(a, b, c) \in {(- 12, - 6, 0), (6, 12, 18)}$ .

Vezi și: Progresia aritmetică.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , $A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ și $B (x) = (\begin{matrix} 2 x & 3 x + 1 \\ 1 - x & 1 \end{matrix})$ , unde $x$ este număr real.

Subiectul III.1 (5p · determinant de ordinul 2)

Arătați că

det (B (1)) = 2

Vezi rezolvarea

$B (1) = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow det (B (1)) = | \begin{matrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix} | = 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 = 2.$

Răspuns: $det (B (1)) = 2$ .

Vezi și: Determinanți.

Subiectul III.2 (5p · produs de matrice)

Arătați că

B (1) \cdot B (2) - B (2) = 11 A

Vezi rezolvarea

$B (2) = (\begin{matrix} 4 & 7 \\ - 1 & 1 \end{matrix}),$

$B (1) \cdot B (2) = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 & 7 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & 18 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) .$

$B (1) \cdot B (2) - B (2) = (\begin{matrix} 0 & 11 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = 11 (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = 11 A .$

Răspuns: egalitatea este adevărată.

Vezi și: Matrice și determinanți.

Subiectul III.3 (5p · ecuație cu determinant)

Determinați numărul real

a

pentru care

det (B (- 1) + a A) = 0

Vezi rezolvarea

$B (- 1) + a A = (\begin{matrix} - 2 & - 2 + a \\ 2 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow det (B (- 1) + a A) = - 2 - 2 (- 2 + a) = 2 - 2 a,$

pentru orice număr real $a$ . Ecuația devine $2 - 2 a = 0$ .

Răspuns: $a = 1$ .

Subiectul III.4 (5p · identitate cu matrice)

Arătați că

B (- x) + 2 B (x) = 3 B (\frac{x}{3})

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

$B (- x) = (\begin{matrix} - 2 x & - 3 x + 1 \\ 1 + x & 1 \end{matrix}) \Rightarrow B (- x) + 2 B (x) = (\begin{matrix} 2 x & 3 x + 3 \\ 3 - x & 3 \end{matrix}) .$

Scoatem factor comun pe $3$ :

$(\begin{matrix} 2 x & 3 x + 3 \\ 3 - x & 3 \end{matrix}) = 3 (\begin{matrix} 2 \cdot \frac{x}{3} & 3 \cdot \frac{x}{3} + 1 \\ 1 - \frac{x}{3} & 1 \end{matrix}) = 3 B (\frac{x}{3}),$

pentru orice număr real $x$ .

Răspuns: egalitatea are loc pentru orice $x \in R$ .

Subiectul III.5 (5p · ecuație matriceală)

Determinați numărul real

x

pentru care

A \cdot (B (x) + I_{2}) = B (x) \cdot A

Vezi rezolvarea

$B (x) + I_{2} = (\begin{matrix} 2 x + 1 & 3 x + 1 \\ 1 - x & 2 \end{matrix}),$

$A \cdot (B (x) + I_{2}) = (\begin{matrix} 1 - x & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .$

$B (x) \cdot A = (\begin{matrix} 2 x & 3 x + 1 \\ 1 - x & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 2 x \\ 0 & 1 - x \end{matrix}) .$

Egalând elementele corespunzătoare: $1 - x = 0$ , $2 = 2 x$ și $0 = 1 - x$ ; toate dau $x = 1$ .

Răspuns: $x = 1$ .

Subiectul III.6 (5p · determinant, divizibilitate)

Arătați că, pentru orice numere întregi

m

și

n

, numărul

N = det (B (2 m) - B (2 n + 1))

este natural, multiplu impar de

3

Vezi rezolvarea

$B (2 m) - B (2 n + 1) = (\begin{matrix} 4 m - 4 n - 2 & 6 m - 6 n - 3 \\ 1 - 2 m + 2 n & 0 \end{matrix}),$

pentru orice numere întregi $m$ și $n$ . Cum $6 m - 6 n - 3 = - 3 (1 - 2 m + 2 n)$ ,

$N = 0 - (6 m - 6 n - 3) (1 - 2 m + 2 n) = 3 (1 - 2 m + 2 n)^{2} .$

Numărul $1 - 2 m + 2 n$ este întreg impar ( $1$ plus un număr par), deci pătratul lui este natural impar. Așadar $N$ este natural și este de forma $3 \cdot (număr impar)$ , adică multiplu impar de $3$ .

Răspuns: $N = 3 (1 - 2 m + 2 n)^{2}$ , natural, multiplu impar de $3$ .

Ce s-a cerut la simularea Bac 2025 M4

Subiectul I a cuprins un calcul cu radicali, intersecția graficelor a două funcții de gradul I, o ecuație exponențială, două reduceri succesive (procente), un triunghi isoscel în reperul cartezian și un triunghi dreptunghic cu sinusul unui unghi. Subiectul al II-lea a fost despre legea de compoziție $x \circ y = x + y - \frac{x y}{6} + 1$ (forma factorizată, ecuații în numere întregi, o progresie aritmetică), iar Subiectul al III-lea despre matrice și determinanți, inclusiv o problemă de divizibilitate.

Subiectul și baremul oficial ale simulării (proba din 25 martie 2025) au fost publicate de Ministerul Educației și Cercetării (Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație) în ziua probei, pe subiecte.edu.ro.

Întrebări frecvente

Contează simularea Bac 2025 la nota finală? Nu. Simularea din martie 2025 este un exercițiu de pregătire și nu intră în media de Bacalaureat; rezultatele se comunică individual, iar nota poate fi trecută în catalog doar la cererea elevului sau a părintelui.

Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează? Proba durează 3 ore, la fel ca la examen. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la simularea Bac 2025 M4? De obicei II.4: cu forma de la II.2 se ajunge la $(m - 6) (n - 6) = 41$ ; fiind $41$ prim, rămân doar două descompuneri compatibile cu $m < n$ .

Bac 2025 M4 pedagogic rezolvat (sesiunea iunie–iulie) · Simulare Bac 2026 M4 pedagogic rezolvat · Simulare Bac 2024 M4 pedagogic rezolvat

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Simulare Bac 2025 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat

Răspunsuri pe scurt

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu radicali)

Subiectul I.2 (5p · intersecția a două grafice)

Subiectul I.3 (5p · ecuație exponențială)

Subiectul I.4 (5p · procente, reduceri succesive)

Subiectul I.5 (5p · mijloc, distanțe, triunghi isoscel)

Subiectul I.6 (5p · triunghi dreptunghic, sinus)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Subiectul II.2 (5p · forma factorizată a legii)

Subiectul II.3 (5p · ecuație de gradul I)

Subiectul II.4 (5p · ecuație în numere întregi)

Subiectul II.5 (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Subiectul II.6 (5p · lege de compoziție și progresie aritmetică)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 (5p · determinant de ordinul 2)

Subiectul III.2 (5p · produs de matrice)

Subiectul III.3 (5p · ecuație cu determinant)

Subiectul III.4 (5p · identitate cu matrice)

Subiectul III.5 (5p · ecuație matriceală)

Subiectul III.6 (5p · determinant, divizibilitate)

Ce s-a cerut la simularea Bac 2025 M4

Întrebări frecvente

Formule conexe