Bac 2020 M4 pedagogic august — subiect rezolvat

Q: Care a fost cel mai dificil item la Bac 2020 M4 august?

De obicei III.6: după ce scrii egalitatea ca 2^m+2^n=2^m+n-2, trebuie observată factorizarea ≤ft(2^m-1)≤ft(2^n-1)=3.

Subiectul oficial de la Bacalaureat 2020, proba E.c) Matematică M_pedagogic (M4), sesiunea a doua (de toamnă), august–septembrie, Varianta 3, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Proba s-a susținut pe 25 august 2020, în a doua sesiune a Bacalaureatului, de candidații din filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Timpul de lucru este de 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică.

Ai rezolvat? Verifică doar răspunsurile finale ↓

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu radicali)

Arătați că

\sqrt{96} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{\sqrt{6}}) = 2

Vezi rezolvarea

Scoatem factorii de sub radical: $\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4 \sqrt{6}$ . Aducem paranteza la numitorul comun $4 \sqrt{6}$ :

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{6 - 4}{4 \sqrt{6}} = \frac{2}{4 \sqrt{6}} .$

$4 \sqrt{6} \cdot \frac{2}{4 \sqrt{6}} = 2.$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $2$ .

Vezi și: Radicali — reguli de calcul.

Subiectul I.2 (5p · funcții de gradul I)

Se consideră funcțiile

f : R \to R

f (x) = 3 x + 1

și

g : R \to R

g (x) = x - 1

. Determinați numărul natural

n

pentru care

f (n) \cdot g (n) = 0

Vezi rezolvarea

$f (n) \cdot g (n) = (3 n + 1) (n - 1) = 0 \Rightarrow n = - \frac{1}{3} sau n = 1.$

Cum $n$ este număr natural, convine doar $n = 1$ .

Răspuns: $n = 1$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație exponențială)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

3^{2 x + 5} = 3^{6 x - 3}

Vezi rezolvarea

Puterile cu aceeași bază $3$ sunt egale dacă și numai dacă exponenții sunt egali:

$2 x + 5 = 6 x - 3 \Leftrightarrow 4 x = 8 \Rightarrow x = 2.$

Răspuns: $x = 2$ .

Vezi și: Ecuații exponențiale.

Subiectul I.4 (5p · probabilitate)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor egală cu dublul cifrei unităților.

Vezi rezolvarea

Cazuri posibile: numerele naturale de două cifre sunt $10, 11, \dots, 99$ , adică $90$ de numere.

Cazuri favorabile: cifra unităților $u$ și cifra zecilor $2 u$ , cu $2 u$ între $1$ și $9$ : $u \in {1, 2, 3, 4}$ , deci numerele $21$ , $42$ , $63$ și $84$ : $4$ cazuri favorabile.

$p = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile} = \frac{4}{90} = \frac{2}{45} .$

Răspuns: $p = \frac{2}{45}$ .

Vezi și: Probabilități.

Subiectul I.5 (5p · drepte perpendiculare)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele necoliniare

A (1, 3)

B (3, 5)

și

C (0, a)

, unde

a

este număr real. Determinați numărul real

a

, știind că triunghiul

A B C

este dreptunghic în

A

Vezi rezolvarea

Triunghiul este dreptunghic în $A$ dacă $A B ⊥ A C$ , adică produsul pantelor este $- 1$ :

$m_{A B} = \frac{5 - 3}{3 - 1} = 1,$

$m_{A C} = \frac{a - 3}{0 - 1} = 3 - a .$

$1 \cdot (3 - a) = - 1 \Rightarrow a = 4.$

Răspuns: $a = 4$ .

Vezi și: Panta unei drepte.

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Arătați că

\sqrt{3} \cdot \sin 60^{\circ} + \sin 30^{\circ} - 4 \sin^{2} 30^{\circ} = 1

Vezi rezolvarea

$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2},$

$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} .$

$\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 1.$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $1$ .

Vezi și: Tabel trigonometric.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = - x y + 4 x + 4 y - 12$ .

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Arătați că

2 \circ 3 = 2

Vezi rezolvarea

$2 \circ 3 = - 2 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 12 = - 6 + 8 + 12 - 12 = 2.$

Răspuns: $2 \circ 3 = 2$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 (5p · comutativitate)

Arătați că legea de compoziție „

\circ

” este comutativă.

Vezi rezolvarea

$x \circ y = - x y + 4 x + 4 y - 12 = - y x + 4 y + 4 x - 12 = y \circ x,$

pentru orice numere reale $x$ și $y$ , deci legea este comutativă.

Răspuns: $x \circ y = y \circ x$ pentru orice $x, y \in R$ : legea este comutativă.

Subiectul II.3 (5p · forma factorizată)

Demonstrați că

x \circ y = - (x - 4) (y - 4) + 4

, pentru orice numere reale

x

și

y

Vezi rezolvarea

Scriem $- 12 = - 16 + 4$ și grupăm:

$\begin{aligned} x \circ y & = - x y + 4 x + 4 y - 16 + 4 \\ = - x (y - 4) + 4 (y - 4) + 4 = - (x - 4) (y - 4) + 4, \end{aligned}$

pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

Răspuns: $x \circ y = - (x - 4) (y - 4) + 4$ , pentru orice $x, y \in R$ .

Subiectul II.4 (5p · element absorbant)

Demonstrați că

x \circ 4 = 4

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

Folosim forma de la II.3:

$x \circ 4 = - (x - 4) (4 - 4) + 4 = - (x - 4) \cdot 0 + 4 = 4,$

pentru orice număr real $x$ .

Răspuns: $x \circ 4 = 4$ , pentru orice $x \in R$ .

Subiectul II.5 (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Determinați numerele reale

x

pentru care

x \circ x = x

Vezi rezolvarea

$x \circ x = - (x - 4)^{2} + 4$ , pentru orice număr real $x$ . Ecuația devine

$- (x - 4)^{2} + 4 = x \Leftrightarrow x^{2} - 7 x + 12 = 0 \Leftrightarrow (x - 4) (x - 3) = 0.$

Răspuns: $x = 3$ sau $x = 4$ .

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

Subiectul II.6 (5p · progresie aritmetică și lege de compoziție)

Se consideră progresia aritmetică

(a_{n})_{n \geq 1}

a_{1} = - 5

și rația

r = 3

. Arătați că

a_{1} \circ a_{2} \circ a_{3} \circ a_{4} = 4

Vezi rezolvarea

Al patrulea termen al progresiei este

$a_{4} = a_{1} + 3 r = - 5 + 3 \cdot 3 = 4.$

Legea fiind asociativă, iar din II.4 $x \circ 4 = 4$ pentru orice $x$ :

$a_{1} \circ a_{2} \circ a_{3} \circ a_{4} = (a_{1} \circ a_{2} \circ a_{3}) \circ 4 = 4.$

Răspuns: $a_{1} \circ a_{2} \circ a_{3} \circ a_{4} = 4$ .

Vezi și: Progresia aritmetică, Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$ , $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ și $B (x) = (\begin{matrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , unde $x$ este număr real.

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Arătați că

det A = 3

Vezi rezolvarea

$det A = | \begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix} | = 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 2 = 1 + 2 = 3.$

Răspuns: $det A = 3$ .

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant.

Subiectul III.2 (5p · sumă de matrice)

Arătați că

B (1) + B (3) = 2 B (2)

Vezi rezolvarea

$B (1) + B (3) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 0 & 2 \end{matrix}) = 2 (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = 2 B (2) .$

Răspuns: $B (1) + B (3) = 2 B (2)$ .

Subiectul III.3 (5p · determinant cu parametru)

Arătați că

det (B (x)) = 1

, pentru orice număr real

x

Vezi rezolvarea

$det (B (x)) = | \begin{matrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix} | = 1 \cdot 1 - x \cdot 0 = 1,$

pentru orice număr real $x$ .

Răspuns: $det (B (x)) = 1$ , pentru orice $x \in R$ .

Subiectul III.4 (5p · produs de matrice)

Arătați că

B (x) \cdot B (y) = B (x + y)

, pentru orice numere reale

x

și

y

Vezi rezolvarea

$B (x) \cdot B (y) = (\begin{matrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & y \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & x + y \\ 0 & 1 \end{matrix}) = B (x + y),$

pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

Răspuns: $B (x) \cdot B (y) = B (x + y)$ , pentru orice $x, y \in R$ .

Subiectul III.5 (5p · matrice care comută)

Determinați numărul real

x

pentru care

A \cdot B (x) = B (x) \cdot A

Vezi rezolvarea

Pentru orice număr real $x$ :

$A \cdot B (x) = (\begin{matrix} 1 & x + 2 \\ - 1 & - x + 1 \end{matrix}),$

$B (x) \cdot A = (\begin{matrix} 1 - x & 2 + x \\ - 1 & 1 \end{matrix}) .$

Egalând elementele corespunzătoare: $1 = 1 - x$ și $- x + 1 = 1$ , deci $x = 0$ .

Răspuns: $x = 0$ .

Subiectul III.6 (5p · ecuație în numere naturale)

Determinați perechile de numere naturale

(m, n)

, pentru care

B (2^{m}) \cdot B (2^{n}) = B (2^{m + n} - 2)

Vezi rezolvarea

Din III.4, $B (2^{m}) \cdot B (2^{n}) = B (2^{m} + 2^{n})$ , deci egalitatea devine

$2^{m} + 2^{n} = 2^{m + n} - 2 \Leftrightarrow 2^{m + n} - 2^{m} - 2^{n} + 1 = 3 \Leftrightarrow (2^{m} - 1) (2^{n} - 1) = 3.$

Pentru $m, n$ naturale, factorii $2^{m} - 1$ și $2^{n} - 1$ sunt numere naturale cu produsul $3$ : fie $2^{m} - 1 = 1, 2^{n} - 1 = 3$ , fie $2^{m} - 1 = 3, 2^{n} - 1 = 1$ .

Răspuns: $(m, n) \in {(1, 2), (2, 1)}$ .

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$6 - 4 = 2$ (adevărat)
I.2	$n = 1$
I.3	$x = 2$
I.4	$p = \frac{2}{45}$
I.5	$a = 4$
I.6	$\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 1$ (adevărat)
II.1–II.3	1) $2$ ; 2) adevărat; 3) adevărat
II.4–II.6	4) adevărat; 5) $x = 3$ sau $x = 4$ ; 6) $4$
III.1–III.3	1) $3$ ; 2) adevărat; 3) adevărat
III.4–III.6	4) adevărat; 5) $x = 0$ ; 6) $(1, 2)$ și $(2, 1)$

Ce s-a cerut la Bac 2020 M4, sesiunea august

Subiectul I a cuprins un calcul cu radicali, două funcții de gradul I, o ecuație exponențială, o probabilitate pe numerele de două cifre, un triunghi dreptunghic în reperul cartezian (pantele a două drepte perpendiculare) și valori din tabelul trigonometric. Subiectul al II-lea a fost despre legea $x \circ y = - (x - 4) (y - 4) + 4$ (comutativitate, element absorbant, o progresie aritmetică), iar Subiectul al III-lea despre matrice și determinanți, cu proprietatea $B (x) \cdot B (y) = B (x + y)$ .

Subiectul și baremul oficial (Varianta 3, proba din 25 august 2020) au fost publicate de Ministerul Educației și Cercetării / CNPEE în ziua probei, în arhiva sesiunii august 2020 de pe subiecte.edu.ro.

Întrebări frecvente

Ce variantă s-a dat la Bac 2020 matematică M_pedagogic în sesiunea de toamnă? În sesiunea august–septembrie 2020 (proba din 25 august) s-a extras Varianta 3, pentru candidații de la profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus.

Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la Bac 2020 M4 august? De obicei III.6: după ce scrii egalitatea ca $2^{m} + 2^{n} = 2^{m + n} - 2$ , trebuie observată factorizarea $(2^{m} - 1) (2^{n} - 1) = 3$ .

Alte subiecte

Bac 2020 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea iunie–iulie · Bac 2026 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2025 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2024 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2023 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2022 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august · Bac 2021 M4 pedagogic rezolvat — sesiunea august

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Bacalaureat 2020 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat, sesiunea august–septembrie

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · calcul cu radicali)

Subiectul I.2 (5p · funcții de gradul I)

Subiectul I.3 (5p · ecuație exponențială)

Subiectul I.4 (5p · probabilitate)

Subiectul I.5 (5p · drepte perpendiculare)

Subiectul I.6 (5p · valori trigonometrice)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Subiectul II.2 (5p · comutativitate)

Subiectul II.3 (5p · forma factorizată)

Subiectul II.4 (5p · element absorbant)

Subiectul II.5 (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Subiectul II.6 (5p · progresie aritmetică și lege de compoziție)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Subiectul III.2 (5p · sumă de matrice)

Subiectul III.3 (5p · determinant cu parametru)

Subiectul III.4 (5p · produs de matrice)

Subiectul III.5 (5p · matrice care comută)

Subiectul III.6 (5p · ecuație în numere naturale)

Răspunsuri pe scurt

Ce s-a cerut la Bac 2020 M4, sesiunea august

Întrebări frecvente

Alte subiecte

Formule conexe