Bacalaureat 2023 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Toate numerele de sub radical sunt pătrate perfecte: $25=5^2$, $64=8^2$, $169={13}^2$.

$$\sqrt{25}+\sqrt{64}-\sqrt{169}=5+8-13=13-13=0.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată.

Vezi și: Radicali.

$$2n+2\ge n^2+2\iff 2n\ge n^2\iff n(n-2)\le 0.$$

Produsul $n(n-2)$ este negativ sau zero pentru $n\in [0,2]$. Cum $n$ este număr natural, obținem $n=0$, $n=1$ sau $n=2$.

Răspuns: $n\in \{0,1,2\}$.

Vezi și: Inecuații.

${\log }_{3}27={\log }_3{3}^3=3$, deci ecuația devine

$${\log }_3(2x-1)=1\Rightarrow 2x-1=3^1=3\Rightarrow x=2.$$

Condiția de existență $2x-1>0$ este îndeplinită ($2\cdot 2-1=3>0$), deci $x=2$ convine.

Răspuns: $x=2$.

Vezi și: Logaritmi, Calculator logaritmi.

După prima scumpire cu $20\mathrm{\%}$:

$$150+\frac{20}{100}\cdot 150=150+30=180\text{ de lei}.$$

A doua scumpire se aplică noului preț, $180$ de lei:

$$180+\frac{20}{100}\cdot 180=180+36=216\text{ lei}.$$

Răspuns: după cele două scumpiri obiectul costă $216$ lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

Coordonatele mijlocului sunt mediile coordonatelor capetelor:

$$3=\frac{0+x_B}{2},$$

$$6=\frac{4+y_B}{2}.$$

Obținem $x_B=6$ și $4+y_B=12$, deci $y_B=8$.

Răspuns: $B(6,8)$.

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment.

Din tabelul valorilor trigonometrice:

$$\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}.$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată.

Vezi și: Tabel trigonometric.

$$2\ast (-2)=2+(-2)-4=0-4=-4.$$

Răspuns: $2\ast (-2)=-4$.

Vezi și: Legi de compoziție.

Pentru orice numere reale $x$, $y$ și $z$:

$$(x\ast y)\ast z=(x+y-4)\ast z=(x+y-4)+z-4=x+y+z-8,$$

$$x\ast (y\ast z)=x\ast (y+z-4)=x+(y+z-4)-4=x+y+z-8.$$

Cele două rezultate coincid, deci $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$.

Răspuns: legea „$\ast$” este asociativă.

Legea este asociativă (II.2), deci putem grupa termenii:

$$1\ast 2\ast 3=(1+2-4)\ast 3=(-1)\ast 3=-2,$$

$$4\ast 5\ast 6=(4+5-4)\ast 6=5\ast 6=7.$$

$$(1\ast 2\ast 3)\ast (4\ast 5\ast 6)=(-2)\ast 7=-2+7-4=1>0.$$

Răspuns: $1\ast 2\ast 3\ast 4\ast 5\ast 6=1>0$.

Pentru orice număr real $x$:

$$x\ast x\ast x=(2x-4)\ast x=3x-8,$$

$$(x+1)\ast x=x+1+x-4=2x-3.$$

Ecuația devine $3x-8=2x-3$, deci $x=5$.

Răspuns: $x=5$.

$4^x\ast 2^x=4^x+2^x-4$, pentru orice număr real $x$. Ecuația devine $4^x+2^x-6=0$. Cu $4^x={\left(2^x\right)}^2$:

$${\left(2^x\right)}^2+2^x-6=0\iff (2^x-2)(2^x+3)=0.$$

Cum $2^x+3>0$, rămâne $2^x=2$, adică $x=1$.

Răspuns: $x=1$.

Vezi și: Ecuații exponențiale.

Pentru orice număr real nenul $x$:

$$x^2\ast \frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-4\ge -2\iff x^2+\frac{1}{x^2}-2\ge 0.$$

Membrul stâng este un pătrat perfect: $x^2-2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}={(x-\frac{1}{x})}^2\ge 0$, adevărat.

Răspuns: $x^2\ast {\displaystyle \frac{1}{x^2}}+2={(x-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^2\ge 0$, deci $x^2\ast {\displaystyle \frac{1}{x^2}}\ge -2$.

$$detA=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right|=1\cdot (-1)-0\cdot 1=-1.$$

Răspuns: $detA=-1$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1-1& 0+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$$

$$B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 2-2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$

Deci $A\cdot A=B\cdot B=I_2$ și $A\cdot A-B\cdot B=I_2-I_2=O_2$.

Răspuns: $A\cdot A-B\cdot B=O_2$.

Din III.2, $A\cdot A=I_2$, deci

$$A\cdot A-x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}1-x& 0\\ 0& 1-x\end{array}\right),$$

$$det(A\cdot A-x{I}_2)=(1-x{)}^2,$$

pentru orice număr real $x$. Din $(1-x{)}^2=0$ obținem $x=1$.

Răspuns: $x=1$.

$$A-B=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 0\end{array}\right),$$

$$A-B-x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}-x& -2\\ 1& -x\end{array}\right),$$

pentru orice număr real $x$. Comparând cu $\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 1& -2\end{array}\right)$, obținem $-x=-2$, deci $x=2$.

Răspuns: $x=2$.

$$A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& -2\end{array}\right),$$

$$a(A+B)=\left(\begin{array}{cc}2a& 2a\\ a& -2a\end{array}\right).$$

$$det(a(A+B))=2a\cdot (-2a)-2a\cdot a=-4a^2-2a^2=-6a^2,$$

pentru orice număr real $a$. Din $-6a^2=-6$ rezultă $a^2=1$.

Răspuns: $a=-1$ sau $a=1$.

Din III.2, $A\cdot A=I_2$, deci $A$ este inversabilă și $A^{-1}=A$. Înmulțim ecuația la stânga cu $A$:

$$A\cdot A\cdot X=A\cdot B\Rightarrow X=A\cdot B.$$

$$X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right).$$

Verificare: $A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1-1& 2-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)=B$. ✓

Răspuns: $X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$.

Vezi și: Matrice inversabilă — ecuații matriceale.