Fișă de lucru ecuația tangentei la grafic clasa a 11-a — 17 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 11-a despre ecuația tangentei la graficul unei funcții: panta tangentei, tangente paralele cu o dreaptă dată sau cu axa Ox, tangente perpendiculare și probleme cu parametru. Răspunsurile sunt la final, pe pagină separată la printare.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — ecuația tangentei la graficul unei funcții, clasa a 11-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Tangenta la graficul lui \(f\) în punctul de abscisă \(x_0\) are ecuația \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\).

I. Nivel ușor

  1. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x)=x^2\) în punctul de abscisă \(x_0=1\).
  2. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x)=x^3-2x\) în punctul de abscisă \(x_0=0\).
  3. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x)=e^x\) în punctul de abscisă \(x_0=0\).
  4. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\ln x\), în punctul de abscisă \(x_0=1\).
  5. Calculează panta tangentei la graficul funcției \(f(x)=x^3+x\) în punctul de abscisă \(x_0=1\).

II. Nivel mediu

  1. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x)=\sqrt{x}\) în punctul de abscisă \(x_0=4\).
  2. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x)=\frac{1}{x}\) în punctul de abscisă \(x_0=2\).
  3. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x)=x\ln x\) în punctul de abscisă \(x_0=e\).
  4. Determină punctul graficului funcției \(f(x)=x^2-4x+5\) în care tangenta este paralelă cu axa \(Ox\) și scrie ecuația tangentei.
  5. Determină punctul graficului funcției \(f(x)=x^2+3x+2\) în care tangenta este paralelă cu dreapta \(y=5x-1\) și scrie ecuația tangentei.
  6. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\) în punctul de abscisă \(x_0=2\).

III. Nivel greu

  1. Calculează măsura unghiului format de tangenta la graficul funcției \(f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+2x\) în punctul de abscisă \(x_0=1\) cu axa \(Ox\) și scrie ecuația tangentei.
  2. Determină tangentele la graficul funcției \(f(x)=x^3-3x\) care sunt paralele cu axa \(Ox\).
  3. Determină numărul real \(a\) pentru care dreapta \(y=2x+a\) este tangentă la graficul funcției \(f(x)=x^2\).
  4. Determină tangenta la graficul funcției \(f(x)=e^x\) care trece prin originea axelor.
  5. Determină \(m\in\mathbb{R}\) pentru care tangenta la graficul funcției \(f(x)=x^3+mx\) în punctul de abscisă \(x_0=1\) este perpendiculară pe dreapta \(y=-\frac{x}{2}+3\).
  6. Tangenta la graficul funcției \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{1}{x}\), în punctul de abscisă \(x_0=1\) formează cu axele de coordonate un triunghi. Calculează aria acestuia.
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(y=2x-1\)
  2. \(y=-2x\)
  3. \(y=x+1\)
  4. \(y=x-1\)
  5. \(m=f'(1)=4\)
  6. \(f(4)=2\), \(f'(4)=\frac{1}{4}\); \(y=\frac{x}{4}+1\)
  7. \(f(2)=\frac{1}{2}\), \(f'(2)=-\frac{1}{4}\); \(y=-\frac{x}{4}+1\)
  8. \(f(e)=e\), \(f'(e)=\ln e+1=2\); \(y=2x-e\)
  9. \(f'(x)=2x-4=0\Rightarrow x=2\); punctul \((2,1)\), tangenta \(y=1\)
  10. \(2x+3=5\Rightarrow x=1\); punctul \((1,6)\), tangenta \(y=5x+1\)
  11. \(f(2)=3\), \(f'(x)=-\frac{2}{(x-1)^2}\), \(f'(2)=-2\); \(y=-2x+7\)
  12. \(f'(1)=1=\operatorname{tg}\alpha\Rightarrow\alpha=45^\circ\); \(y=x+\frac{1}{3}\)
  13. \(f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1\); tangentele \(y=-2\) (în \(x=1\)) și \(y=2\) (în \(x=-1\))
  14. \(a=-1\) (\(f'(x)=2\Rightarrow x=1\), punctul \((1,1)\))
  15. \(y=ex\) (tangenta în \(t\): \(y=e^t(x-t)+e^t\); trece prin \(O\) dacă \(t=1\))
  16. \(m=-1\) (panta trebuie să fie 2: \(3+m=2\))
  17. Tangenta: \(y=-x+2\); intersecții \((2,0)\) și \((0,2)\); aria \(=2\)

Teorie: Ecuația tangentei — formulă și pași · Formule derivate · Formule clasa a 11-a · Alte fișe: toate fișele de lucru