Bac 2024 M4 pedagogic matematică

Q: Care a fost cel mai dificil item la Bac 2024 M4?

De obicei II.6: cu (1)/(_x2)=_2x și notația t=_2x, ecuația devine t+1t=52, cu soluțiile t=2 și t=12.

Subiectul oficial de la Bacalaureat 2024, proba E.c) Matematică M_pedagogic (M4), sesiunea iunie–iulie, Varianta 10, rezolvat complet, pas cu pas, în acord cu baremul oficial. Fiecare item are enunțul exact, rezolvarea detaliată, răspunsul final evidențiat și link-uri către formulele folosite.

Proba s-a susținut pe 2 iulie 2024 de candidații din filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Timpul de lucru este de 3 ore; sunt trei subiecte a câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea. Formulele de care ai nevoie sunt adunate în Formule Bac matematică.

Răspunsuri pe scurt

Item	Răspuns
I.1	$b_{3} = 16$
I.2	$a = 1$
I.3	$x = 2$
I.4	$200$ de lei
I.5	$M (4, 4)$ , $B M = C M = 4$
I.6	$A C = 5$ , perimetrul $= 30$
II.1–II.3	1) $3$ ; 2) $x = 2$ ; 3) comutativă
II.4–II.6	4) $x = 1$ ; 5) $n \in {0, 1}$ ; 6) $x = 4$ sau $x = \sqrt{2}$
III.1–III.3	1) $- 4$ ; 2) adevărat; 3) adevărat
III.4–III.6	4) $a = 2$ ; 5) $a = - 1$ sau $a = 2$ ; 6) $x = 1$ , $y = - 1$

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · progresie geometrică)

Se consideră progresia geometrică

{(b_{n})}_{n \geq 1}

b_{1} = 4

și

b_{2} = 8

. Calculați

b_{3}

Vezi rezolvarea

Rația progresiei geometrice este raportul a doi termeni consecutivi:

$q = \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{8}{4} = 2,$

$b_{3} = b_{2} \cdot q = 8 \cdot 2 = 16.$

Răspuns: $b_{3} = 16$ .

Vezi și: Progresia geometrică.

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 7 x + 2

. Determinați numărul real

a

pentru care

f (a) = 9

Vezi rezolvarea

$f (a) = 7 a + 2$ , pentru orice număr real $a$ . Ecuația devine $7 a + 2 = 9$ , adică $7 a = 7$ , deci $a = 1$ .

Răspuns: $a = 1$ .

Vezi și: Funcția de gradul I.

Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\log_{2} (2 x + 3) = \log_{2} (3 x + 1)

Vezi rezolvarea

Logaritmii au aceeași bază, deci argumentele sunt egale:

$2 x + 3 = 3 x + 1 \Rightarrow x = 2.$

Verificăm condițiile de existență: $2 \cdot 2 + 3 = 7 > 0$ și $3 \cdot 2 + 1 = 7 > 0$ , deci $x = 2$ convine.

Răspuns: $x = 2$ .

Vezi și: Logaritmi, Calculator logaritmi.

Subiectul I.4 (5p · procente, scumpire)

După o scumpire cu

25 %

, prețul unui obiect a crescut cu

50

de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $x$ prețul inițial (în lei). Creșterea de $50$ de lei reprezintă $25 %$ din $x$ :

$\frac{25}{100} \cdot x = 50 \Rightarrow \frac{x}{4} = 50 \Rightarrow x = 200.$

Răspuns: prețul inițial era $200$ de lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

Subiectul I.5 (5p · mijlocul unui segment, distanțe)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (0, 4)

B (8, 4)

și

C (4, 0)

. Demonstrați că

B M = C M

, unde punctul

M

este mijlocul segmentului

A B

Vezi rezolvarea

$x_{M} = \frac{0 + 8}{2} = 4,$

$y_{M} = \frac{4 + 4}{2} = 4,$

deci $M (4, 4)$ . Calculăm distanțele:

$B M = \sqrt{(4 - 8)^{2} + (4 - 4)^{2}} = 4,$

$C M = \sqrt{(4 - 4)^{2} + (4 - 0)^{2}} = 4.$

Răspuns: $B M = C M = 4$ .

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte.

Subiectul I.6 (5p · teorema lui Pitagora, perimetru)

Se consideră triunghiul

A B C

, dreptunghic în

A

, cu

A B = 12

și

B C = 13

. Arătați că perimetrul triunghiului

A B C

este egal cu

30

Vezi rezolvarea

$B C$ este ipotenuza; din teorema lui Pitagora:

$A C = \sqrt{B C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5.$

$P_{△ A B C} = A B + B C + A C = 12 + 13 + 5 = 30.$

Răspuns: perimetrul triunghiului $A B C$ este $30$ .

Vezi și: Teorema lui Pitagora, Calculator Pitagora.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea $M = (0, + \infty)$ se definește legea de compoziție $x \circ y = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 1$ .

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Arătați că

1 \circ 1 = 3

Vezi rezolvarea

$1 \circ 1 = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3.$

Răspuns: $1 \circ 1 = 3$ .

Vezi și: Legi de compoziție.

Subiectul II.2 (5p · ecuație cu lege de compoziție)

Determinați

x \in M

pentru care

x \circ x = 2

Vezi rezolvarea

$x \circ x = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + 1 = \frac{2}{x} + 1,$

pentru orice $x \in M$ . Ecuația devine $\frac{2}{x} + 1 = 2$ , adică $\frac{2}{x} = 1$ , deci $x = 2$ , care aparține lui $M$ .

Răspuns: $x = 2$ .

Subiectul II.3 (5p · comutativitate)

Arătați că legea de compoziție „

\circ

” este comutativă.

Vezi rezolvarea

Pentru orice $x \in M$ și $y \in M$ , folosind comutativitatea adunării:

$y \circ x = \frac{1}{y} + \frac{1}{x} + 1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 1 = x \circ y .$

Răspuns: $x \circ y = y \circ x$ pentru orice $x, y \in M$ , deci legea este comutativă.

Subiectul II.4 (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Determinați

x \in M

pentru care

x \circ \frac{1}{x} = 3

Vezi rezolvarea

Inversul lui $\frac{1}{x}$ este $x$ , deci

$x \circ \frac{1}{x} = \frac{1}{x} + x + 1 = \frac{x^{2} + x + 1}{x},$

pentru orice $x \in M$ . Ecuația devine $\frac{x^{2} + x + 1}{x} = 3$ , adică $x^{2} + x + 1 = 3 x$ , deci

$x^{2} - 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in M .$

Răspuns: $x = 1$ .

Subiectul II.5 (5p · divizibilitate)

Determinați numerele naturale

n

pentru care

(n + 1) \circ (n + 1)

este număr natural.

Vezi rezolvarea

Pentru orice număr natural $n$ , $n + 1 \in M$ și

$(n + 1) \circ (n + 1) = \frac{2}{n + 1} + 1.$

Acesta este număr natural exact când $\frac{2}{n + 1}$ este număr natural, adică atunci când $n + 1$ este divizor natural al lui $2$ : $n + 1 \in {1, 2}$ .

Obținem $n = 0$ (valoarea $3$ ) și $n = 1$ (valoarea $2$ ).

Răspuns: $n \in {0, 1}$ .

Subiectul II.6 (5p · ecuație logaritmică)

Determinați

x \in (1, + \infty)

pentru care

(\log_{2} x) \circ (\log_{x} 2) = \frac{7}{2}

Vezi rezolvarea

Pentru $x > 1$ , $\log_{2} x > 0$ și $\log_{x} 2 > 0$ , deci ambele numere sunt în $M$ și

$(\log_{2} x) \circ (\log_{x} 2) = \frac{1}{\log_{2} x} + \frac{1}{\log_{x} 2} + 1.$

Cum $\frac{1}{\log_{x} 2} = \log_{2} x$ , notăm $t = \log_{2} x > 0$ . Ecuația devine

$\frac{1}{t} + t + 1 = \frac{7}{2} \Leftrightarrow 2 t^{2} - 5 t + 2 = 0 \Leftrightarrow (t - 2) (2 t - 1) = 0.$

Deci $\log_{2} x = 2$ , adică $x = 4$ , sau $\log_{2} x = \frac{1}{2}$ , adică $x = 2^{1 / 2} = \sqrt{2}$ . Ambele sunt mai mari decât $1$ .

Răspuns: $x = 4$ sau $x = \sqrt{2}$ .

Vezi și: Logaritmi — schimbarea bazei.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ și $A (a) = (\begin{matrix} a + 2 & 2 \\ 2 & a - 6 \end{matrix})$ , unde $a$ este număr real.

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Arătați că

det (A (6)) = - 4

Vezi rezolvarea

$A (6) = (\begin{matrix} 8 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix}),$

$det (A (6)) = 8 \cdot 0 - 2 \cdot 2 = - 4.$

Răspuns: $det (A (6)) = - 4$ .

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

Subiectul III.2 (5p · produsul a două matrice)

Arătați că

A (3) \cdot A (1) = 19 I_{2}

Vezi rezolvarea

$A (3) \cdot A (1) = (\begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & - 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 15 + 4 & 10 - 10 \\ 6 - 6 & 4 + 15 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 19 & 0 \\ 0 & 19 \end{matrix}) = 19 I_{2} .$

Răspuns: $A (3) \cdot A (1) = 19 I_{2}$ .

Subiectul III.3 (5p · adunarea matricelor)

Demonstrați că

A (a) + A (- a) = 2 A (0)

, pentru orice număr real

a

Vezi rezolvarea

$A (a) + A (- a) = (\begin{matrix} a + 2 & 2 \\ 2 & a - 6 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - a + 2 & 2 \\ 2 & - a - 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & 4 \\ 4 & - 12 \end{matrix}) = 2 (\begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & - 6 \end{matrix}) = 2 A (0),$

pentru orice număr real $a$ .

Răspuns: $A (a) + A (- a) = 2 A (0)$ .

Subiectul III.4 (5p · ecuație cu determinant)

Determinați numărul real

a

pentru care

det (A (a)) = - 20

Vezi rezolvarea

$det (A (a)) = (a + 2) (a - 6) - 2 \cdot 2 = a^{2} - 4 a - 12 - 4 = a^{2} - 4 a - 16,$

pentru orice număr real $a$ . Ecuația devine

$a^{2} - 4 a - 16 = - 20 \Leftrightarrow a^{2} - 4 a + 4 = 0 \Leftrightarrow (a - 2)^{2} = 0.$

Răspuns: $a = 2$ .

Subiectul III.5 (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Determinați numerele reale

a

pentru care

A (a^{2}) - A (a) = 2 I_{2}

Vezi rezolvarea

$A (a^{2}) - A (a) = (\begin{matrix} a^{2} + 2 - a - 2 & 0 \\ 0 & a^{2} - 6 - a + 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a^{2} - a & 0 \\ 0 & a^{2} - a \end{matrix}),$

pentru orice număr real $a$ . Egalitatea cu $2 I_{2}$ înseamnă $a^{2} - a = 2$ , adică

$a^{2} - a - 2 = 0 \Leftrightarrow (a + 1) (a - 2) = 0.$

Răspuns: $a = - 1$ sau $a = 2$ .

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

Subiectul III.6 (5p · sistem de ecuații)

Determinați numerele reale

x

și

y

pentru care

A (- 1) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 9 \end{matrix})

Vezi rezolvarea

$A (- 1) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & - 7 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x + 2 y \\ 2 x - 7 y \end{matrix}) .$

Obținem sistemul $x + 2 y = - 1$ , $2 x - 7 y = 9$ . Din prima ecuație $x = - 1 - 2 y$ ; înlocuim în a doua: $- 2 - 4 y - 7 y = 9$ , deci $- 11 y = 11$ , $y = - 1$ și $x = - 1 + 2 = 1$ .

Răspuns: $x = 1$ și $y = - 1$ .

Vezi și: Sisteme de ecuații, Calculator sisteme de ecuații.

Ce s-a cerut la Bac 2024 M4

Subiectul I a cuprins o progresie geometrică, funcția de gradul I, o ecuație logaritmică, o scumpire (procente), distanțe în reperul cartezian și teorema lui Pitagora. Subiectul al II-lea a fost despre o lege de compoziție pe $(0, + \infty)$ , cu o ecuație logaritmică la final, iar Subiectul al III-lea despre matrice și determinanți, inclusiv un sistem scris matriceal.

Subiectul și baremul oficial (Varianta 10, proba din 2 iulie 2024) au fost publicate de Ministerul Educației / CNPEE în ziua probei, în arhiva sesiunii iunie–iulie 2024 de pe subiecte.edu.ro.

Întrebări frecvente

Ce variantă s-a dat la Bac 2024 la matematică M_pedagogic? În sesiunea iunie–iulie 2024 (proba din 2 iulie) s-a extras Varianta 10, pentru candidații de la profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Toți cei 18 itemi sunt rezolvați mai sus.

Cât durează proba de matematică M4 și cum se punctează? Proba durează 3 ore. Fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota este punctajul total împărțit la 10.

Primesc punctaj dacă rezolv altfel decât în barem? Da. Baremul oficial precizează că pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Care a fost cel mai dificil item la Bac 2024 M4? De obicei II.6: cu $\frac{1}{\log_{x} 2} = \log_{2} x$ și notația $t = \log_{2} x$ , ecuația devine $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$ , cu soluțiile $t = 2$ și $t = \frac{1}{2}$ .

Bac 2026 M4 pedagogic rezolvat · Bac 2025 M4 pedagogic rezolvat · Bac 2023 M4 pedagogic rezolvat

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate

Subiect oficial © Ministerul Educației / CNPEE, preluat de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Bacalaureat 2024 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Răspunsuri pe scurt

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · progresie geometrică)

Subiectul I.2 (5p · funcția de gradul I)

Subiectul I.3 (5p · ecuație logaritmică)

Subiectul I.4 (5p · procente, scumpire)

Subiectul I.5 (5p · mijlocul unui segment, distanțe)

Subiectul I.6 (5p · teorema lui Pitagora, perimetru)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 (5p · calcul cu legea de compoziție)

Subiectul II.2 (5p · ecuație cu lege de compoziție)

Subiectul II.3 (5p · comutativitate)

Subiectul II.4 (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Subiectul II.5 (5p · divizibilitate)

Subiectul II.6 (5p · ecuație logaritmică)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 (5p · determinant)

Subiectul III.2 (5p · produsul a două matrice)

Subiectul III.3 (5p · adunarea matricelor)

Subiectul III.4 (5p · ecuație cu determinant)

Subiectul III.5 (5p · ecuație de gradul al II-lea)

Subiectul III.6 (5p · sistem de ecuații)

Ce s-a cerut la Bac 2024 M4

Întrebări frecvente

Formule conexe