Bacalaureat 2026 matematică M4 (pedagogic) — subiect rezolvat, sesiunea iunie–iulie

Calculăm întâi paranteza, apoi înmulțirea (simplificăm cu $5$ și cu $2$) și la final adunarea:

$$1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6},$$

$$\frac{14}{5}\cdot \frac{5}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}.$$

$$\frac{7}{3}+\frac{2}{3}=\frac{9}{3}=3.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată: rezultatul este $3$.

Vezi și: Fracții — operații.

$$a=f(1)=4\cdot 1-1=3,$$

$$f(a)=f(3)=4\cdot 3-1=11.$$

Răspuns: $f(a)=11$.

Vezi și: Funcția de gradul I.

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază adunăm exponenții, iar $100={10}^2$:

$${10}^{3+x}={10}^2\Rightarrow 3+x=2\Rightarrow x=-1.$$

Răspuns: $x=-1$.

Vezi și: Puteri — reguli de calcul, Ecuații exponențiale.

Notăm cu $x$ prețul inițial (în lei). După prima ieftinire cu $50\mathrm{\%}$:

$$x-\frac{50}{100}\cdot x=\frac{x}{2}.$$

A doua ieftinire se aplică noului preț $\frac{x}{2}$:

$$\frac{x}{2}-\frac{50}{100}\cdot \frac{x}{2}=\frac{x}{4},$$

$$\frac{x}{4}=200\Rightarrow x=800.$$

Verificare: $800\to 400\to 200$ lei. ✓

Răspuns: prețul inițial era $800$ de lei.

Vezi și: Procente, Calculator procente.

Originea este $O(0,0)$, deci mijlocul lui $OB$ are coordonatele

$$x_C=\frac{0+6}{2}=3,$$

$$y_C=\frac{0+2}{2}=1,$$

adică $C(3,1)$. Distanța dintre $A(4,0)$ și $C(3,1)$:

$$AC=\sqrt{(3-4{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.$$

Răspuns: $C(3,1)$ și $AC=\sqrt{2}$.

Vezi și: Coordonatele mijlocului unui segment, Distanța dintre două puncte.

Din tabelul valorilor trigonometrice:

$$\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2},\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}.$$

$$2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0.$$

Răspuns: egalitatea este adevărată.

Vezi și: Tabel trigonometric.

$$3\ast 3=3\cdot 3-3-2\cdot 3+4=9-3-6+4=4.$$

Răspuns: $3\ast 3=4$.

Vezi și: Legi de compoziție.

$$x\ast (-2)=-2x-x-2\cdot (-2)+4=-3x+8,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine $-3x+8=x$, adică $4x=8$, deci $x=2$.

Răspuns: $x=2$.

$$(-x)\ast x=(-x)\cdot x-(-x)-2x+4=-x^2+x-2x+4=-x^2-x+4,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine

$$-x^2-x+4=2x\iff x^2+3x-4=0\iff (x+4)(x-1)=0.$$

Răspuns: $x=-4$ sau $x=1$.

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

Scriem $4=2+2$ și grupăm termenii:

$$x\ast y=xy-2y-x+2+2=y(x-2)-(x-2)+2=(x-2)(y-1)+2,$$

pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Răspuns: $x\ast y=(x-2)(y-1)+2$.

Folosim forma de la II.4, cu $x=4$: $4\ast y=2(y-1)+2=2y$. Atunci

$$4\ast a=2a,$$

$$4\ast (4\ast a)=4\ast (2a)=4a,$$

pentru orice număr real $a$. Ecuația devine $4a={\displaystyle \frac{1}{a}}$, adică $a^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Răspuns: $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ sau $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (ambele nenule, deci convin).

Din II.4, $n\ast p=(n-2)(p-1)+2$, deci ecuația este $(n-2)(p-1)+2=p$. Mutăm totul în stânga și scriem $p-2=(p-1)-1$:

$$(n-2)(p-1)-(p-1)+1=0\iff (n-3)(p-1)=-1.$$

Pentru $n,p$ naturale, $n-3$ și $p-1$ sunt numere întregi cu produsul $-1$, deci unul este $1$, iar celălalt $-1$:

• $n-3=1$ și $p-1=-1$: $n=4$, $p=0$;

• $n-3=-1$ și $p-1=1$: $n=2$, $p=2$.

Verificare: $4\ast 0=0-4-0+4=0$ și $2\ast 2=4-2-4+4=2$. ✓

Răspuns: $(n,p)\in \{(2,2),(4,0)\}$.

Vezi și: Legi de compoziție — exerciții rezolvate.

$$A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& -1\end{array}\right),$$

$$det(A(2))=2\cdot (-1)-2\cdot (-2)=-2+4=2.$$

Răspuns: $det(A(2))=2$.

Vezi și: Determinanți, Calculator determinant și matrice inversă.

$$3A(2)-A(4)=\left(\begin{array}{cc}6& 6\\ -6& -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ -4& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ -2& 0\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=2A(1).$$

Egalitatea devine $2A(a)=2A(1)$; comparând, de exemplu, elementele de pe prima linie și a doua coloană, obținem $a=1$.

Răspuns: $a=1$.

$$det(A(x))=(4-x)(1-x)-x\cdot (-x)=4-5x+x^2+x^2=2x^2-5x+4,$$

pentru orice număr real $x$. Ecuația devine

$$2x^2-5x+4=x\iff 2x^2-6x+4=0\iff x^2-3x+2=0\iff (x-1)(x-2)=0.$$

Răspuns: $x=1$ sau $x=2$.

Vezi și: Ecuația de gradul al II-lea.

$$I_2-A(2)=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 2& 2\end{array}\right),$$

$$B=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -1\\ 1& 1\end{array}\right).$$

Verificăm produsele în ambele ordini:

$$A(2)\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1+2& -2+2\\ 1-1& 2-1\end{array}\right)=I_2,$$

$$B\cdot A(2)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1+2& -1+1\\ 2-2& 2-1\end{array}\right)=I_2.$$

Răspuns: $A(2)\cdot B=B\cdot A(2)=I_2$, deci $B=A(2{)}^{-1}$.

Vezi și: Matrice inversabilă.

Înmulțim linie cu coloană:

$$A(x)\cdot A(x)=\left(\begin{array}{cc}(4-x{)}^2-x^2& (4-x)x+x(1-x)\\ -x(4-x)-x(1-x)& -x^2+(1-x{)}^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}16-8x& 5x-2x^2\\ -5x+2x^2& 1-2x\end{array}\right),$$

pentru orice număr real $x$. Egalăm cu $y{I}_2=\left(\begin{array}{cc}y& 0\\ 0& y\end{array}\right)$:

• elementele din afara diagonalei: $5x-2x^2=0\iff x(5-2x)=0$, deci $x=0$ sau $x=\frac{5}{2}$;

• elementele de pe diagonală sunt egale: $16-8x=1-2x\iff 6x=15\iff x=\frac{5}{2}$.

Deci $x=\frac{5}{2}$ și $y=16-8\cdot \frac{5}{2}=16-20=-4$ (verificare: $1-2\cdot \frac{5}{2}=-4$ ✓).

Răspuns: $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$ și $y=-4$.

Dăm factor comun pe $X$ la dreapta: $(I_2-A(2))\cdot X=A(3)$. Din III.4, $\frac{1}{2}(I_2-A(2))\cdot A(2)=I_2$, deci

$$(I_2-A(2){)}^{-1}=\frac{1}{2}A(2),$$

$$X=\frac{1}{2}A(2)\cdot A(3).$$

Cu $A(3)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -3& -2\end{array}\right)$:

$$A(2)\cdot A(3)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -3& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2-6& 6-4\\ -2+3& -6+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4& 2\\ 1& -4\end{array}\right).$$

$$X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-4& 2\\ 1& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{1}{2}& -2\end{array}\right).$$

Răspuns: $X=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{1}{2}& -2\end{array}\right)$.

Vezi și: Matrice inversabilă — ecuații matriceale.