Numere complexe la Bacalaureat — subiecte rezolvate (M1, M2, M3)

Numerele complexe apar la Bacalaureat la Subiectul I (exerciții de câte 5 puncte), cel mai des la exercițiul 1: calcule cu $i^2=-1$, modulul și conjugatul unui număr complex sau ecuații în $\mathbb{C}$. Aici găsești toate cele 21 de exerciții cu numere complexe din variantele oficiale rezolvate pe site (2020–2027) — 12 la M1 (mate-info), 8 la M2 (științele naturii), 1 la M3 (tehnologic) —, cu enunțul exact și link direct la rezolvarea pas cu pas.

M1 (mate-info)M2 (științele naturii)M3 (tehnologic)

Recapitulare rapidă: ce trebuie să știi

• Forma algebrică: $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$ și $i^2=-1$; $\mathrm{Re}z=a$, $\mathrm{Im}z=b$; $z$ este real dacă $b=0$ — numere complexe: formule.
• Conjugatul și modulul: $\bar{z}=a-bi$, $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$.
• Împărțirea: se amplifică fracția cu conjugatul numitorului: ${\displaystyle \frac{1}{a+bi}}={\displaystyle \frac{a-bi}{a^2+b^2}}$.
• Puterile lui $i$: $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, deci $i^n$ depinde doar de restul împărțirii lui $n$ la 4.
• Ecuația de gradul al II-lea cu $\mathrm{\Delta }<0$: $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b\pm i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}}$.

Exersează și pe fișa de lucru cu numere complexe.

Tipuri de cerințe

Tip de cerință	Nr.	Unde apare (link direct la rezolvare)
Conjugatul unui număr complex	1	M1 2026 sim. I.1
Partea reală / imaginară, număr real	1	M1 model 2027 I.1
Calcule cu numere complexe	19	M2 2026 aug. I.1, M1 2026 iun. I.1, M1 2025 aug. I.1, M1 2025 iun. I.1, M2 2025 sim. I.1, M2 2024 aug. I.1, M2 2024 sim. I.1, M2 2023 aug. I.1, M1 2023 iun. I.1, M2 2023 sim. I.1, M1 2023 sim. I.1, M1 2022 aug. I.1, M1 2022 sim. I.1, M2 2021 aug. I.1, M1 2021 iun. I.1, M2 2021 sim. I.1, M3 2021 sim. I.1, M1 2020 aug. I.1, M1 2020 iun. I.1

Enunțurile de mai jos sunt copiate exact din subiectele oficiale, ordonate de la cele mai noi la cele mai vechi. Încearcă întâi să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea completă.

Bac M1 (mate-info)

Model Bac 2027 M1 (oficial)

I.1 Se consideră numerele complexe $z_1=1+i$, $z_2=3-2i$ și numărul real $a$ astfel încât numărul $z_3=a{z}_1+i{z}_2$ este real. Determinați $z_3$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2026 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.1 Se consideră numărul complex $z=3-i$. Arătați că $z(z+2i)=10$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2026 M1

I.1 Se consideră numărul complex $z=2+i$. Arătați că $z+\bar{z}+z\cdot \bar{z}$​$=9$, unde $\bar{z}$ este conjugatul numărului complex $z$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M1 — sesiunea august–septembrie

I.1 Arătați că $3(4-5i)+5i(3+2i)$​$=2$, unde $i^2=-1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2025 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.1 Se consideră numerele complexe $z_1=1-i$ și $z_2=2+i$. Arătați că $2z_1+i{z}_2=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.1 Se consideră numărul complex $z=3+i$. Arătați că $z(z-2i)=10$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M1

I.1 Se consideră numerele complexe $z_1=1+2i$ și $z_2=1-i$. Arătați că $z_1^2+4z_2=1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2022 M1 — sesiunea august–septembrie

I.1 Arătați că $2i(3-i)-6i=2$, unde $i^2=-1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2022 M1

I.1 Se consideră numerele complexe $z_1=1-2i$ și $z_2=2+i$. Arătați că $(z_1+i)(z_2-1)$​$=2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.1 Arătați că $(1+i{)}^2-2(1+i)+2$​$=0$, unde $i^2=-1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea august–septembrie

I.1 Se consideră numărul complex $z=2+i$. Arătați că $z^2-4z+5=0$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2020 M1 — sesiunea iunie–iulie

I.1 Arătați că numărul $z$​$=(1-i\sqrt{2})(1+i\sqrt{2})$ este natural, unde $i^2=-1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M2 (științele naturii)

Bac 2026 M2 — sesiunea august–septembrie

I.1 Se consideră numerele complexe $z_1=2-3i$ și $z_2=1-2i$. Arătați că $i{z}_1+z_2=4$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2025 M2

I.1 Arătați că $2i(6-i)+3(1-4i)=5$, unde $i^2=-1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2024 M2 — sesiunea august–septembrie

I.1 Arătați că $2-5i+i(5-3i)=5$, unde $i^2=-1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2024 M2

I.1 Se consideră numerele complexe $z_1=3-i$ și $z_2=1+i$. Arătați că $z_1+i{z}_2=2$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2023 M2 — sesiunea august–septembrie

I.1 Arătați că $3-4i+i(4-i)=4$, unde $i^2=-1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2023 M2

I.1 Arătați că $2(1+i)-i(2-i)=1$, unde $i^2=-1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac 2021 M2 — sesiunea august–septembrie

I.1 Arătați că $3(4-i)+3i(1+i)=9$, unde $i^2=-1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Simulare Bac 2021 M2

I.1 Se consideră numărul complex $z=3+2i$. Arătați că $z+{\displaystyle \frac{13}{z}}=6$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Bac M3 (tehnologic)

Simulare Bac 2021 M3

I.1 Arătați că $(1+3i{)}^2-6i=-8$, unde $i^2=-1$. Vezi rezolvarea pas cu pas →

Alte capitole de Bac: Integrale (III.2) · Derivate (III.1) · Matrice și determinanți (II.1) · Limite de funcții.

Întrebări frecvente

Unde apar numerele complexe la Bacalaureat? La Subiectul I, de obicei la exercițiul 1, care valorează 5 puncte. Se cere un calcul cu numere complexe, modulul sau conjugatul unui număr, partea reală ori imaginară sau rezolvarea unei ecuații în mulțimea numerelor complexe.

Cum calculez modulul unui număr complex? Scrii numărul în forma algebrică z = a + bi și aplici formula |z| = √(a² + b²). De exemplu, pentru z = 3 + 4i obții |z| = √(9 + 16) = 5.

Cum împart două numere complexe? Amplifici fracția cu conjugatul numitorului: numitorul devine un număr real, a² + b², iar apoi separi partea reală de partea imaginară.

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate · Formule Bac M1 și M2

Subiecte oficiale © Ministerul Educației / CNPEE, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările: Matepenet.ro.