Fișă de lucru aplicații ale integralei: arii și volume clasa a 12-a — cu răspunsuri
Fișă de lucru cu 18 exerciții pentru clasa a 12-a despre aplicațiile integralei definite: aria subgraficului unei funcții, aria suprafeței dintre două grafice și volumul corpului obținut prin rotirea graficului în jurul axei \(Ox\). Fă un desen la fiecare problemă; răspunsurile sunt la final.
Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________
Fișă de lucru — aplicații ale integralei definite (arii și volume), clasa a 12-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Aria subgraficului: \(\mathcal{A}=\int_a^b|f(x)|\,dx\); volumul corpului de rotație: \(V=\pi\int_a^b f^2(x)\,dx\).
I. Nivel ușor
- Calculează aria suprafeței delimitate de graficul funcției \(f(x)=x^2+1\), axa \(Ox\) și dreptele \(x=0\), \(x=3\).
- Calculează aria suprafeței delimitate de graficul funcției \(f(x)=e^x\), axa \(Ox\) și dreptele \(x=0\), \(x=1\).
- Calculează aria suprafeței delimitate de graficul funcției \(f(x)=\frac{1}{x}\), axa \(Ox\) și dreptele \(x=1\), \(x=e\).
- Calculează aria suprafeței delimitate de graficul funcției \(f(x)=\sin x\), axa \(Ox\) și dreptele \(x=0\), \(x=\pi\).
- Calculează aria suprafeței delimitate de graficul funcției \(f(x)=2x+1\), axa \(Ox\) și dreptele \(x=1\), \(x=3\). Verifică rezultatul cu formula ariei trapezului.
II. Nivel mediu
- Calculează aria suprafeței delimitate de graficul funcției \(f(x)=x^2-4x\) și axa \(Ox\).
- Calculează aria suprafeței delimitate de graficul funcției \(f(x)=x^3\), axa \(Ox\) și dreptele \(x=-1\), \(x=2\).
- Calculează aria suprafeței cuprinse între parabola \(y=x^2\) și dreapta \(y=2x\) (zona hașurată din figură).
- Calculează aria suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor \(f(x)=x^2-1\) și \(g(x)=x+1\).
- Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei \(Ox\) a graficului funcției \(f(x)=x\), \(x\in[0,3]\). Ce corp se obține?
- Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei \(Ox\) a graficului funcției \(f(x)=e^x\), \(x\in[0,1]\).
III. Nivel greu
- Calculează aria suprafeței delimitate de graficul funcției \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\), axa \(Ox\) și dreptele \(x=1\), \(x=e\).
- Calculează aria suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor \(f(x)=\sqrt{x}\) și \(g(x)=x^2\), \(x\ge 0\).
- Calculează aria suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor \(f(x)=e^x\), \(g(x)=e^{-x}\) și dreapta \(x=1\).
- Determină numărul real \(a\gt 1\) pentru care aria suprafeței delimitate de graficul funcției \(f(x)=\frac{1}{x}\), axa \(Ox\) și dreptele \(x=1\), \(x=a\) este egală cu 2.
- Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei \(Ox\) a graficului funcției \(f(x)=\sin x\), \(x\in[0,\pi]\).
- Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei \(Ox\) a graficului funcției \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\), \(x\in[-2,2]\). Verifică rezultatul cu formula volumului sferei.
- Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei \(Ox\) a graficului funcției \(f(x)=\frac{1}{x}\), \(x\in[1,2]\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa
Răspunsuri
- 12
- \(e-1\)
- 1
- 2
- 10 (trapez cu bazele 3 și 7, înălțimea 2)
- \(\frac{32}{3}\) (\(f\le 0\) pe \([0,4]\): \(\int_0^4\left(4x-x^2\right)dx\))
- \(\frac{17}{4}\) (\(\frac{1}{4}+4\); atenție la semnul lui \(f\) pe \([-1,0]\))
- \(\frac{4}{3}\) (intersecții \(x=0\), \(x=2\); \(\int_0^2\left(2x-x^2\right)dx\))
- \(\frac{9}{2}\) (intersecții \(x=-1\), \(x=2\); \(\int_{-1}^2\left(-x^2+x+2\right)dx\))
- \(9\pi\); un con cu raza 3 și înălțimea 3
- \(\frac{\pi\left(e^2-1\right)}{2}\)
- \(\frac{1}{2}\) (\(\left.\frac{\ln^2x}{2}\right|_1^e\))
- \(\frac{1}{3}\) (intersecții \(x=0\), \(x=1\); \(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\))
- \(e+\frac{1}{e}-2=\frac{(e-1)^2}{e}\)
- \(a=e^2\) (\(\ln a=2\))
- \(\frac{\pi^2}{2}\) (\(\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}\))
- \(\frac{32\pi}{3}\) (sferă de rază 2: \(\frac{4\pi\cdot 8}{3}\))
- \(\frac{\pi}{2}\) (\(\pi\int_1^2\frac{dx}{x^2}\))