Fișă de lucru integrarea prin părți clasa a 12-a — 17 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 12-a despre metoda integrării prin părți: primitive și integrale definite cu \(e^x\), \(\ln x\), \(\sin x\), \(\cos x\), integrale „ciclice” și relații de recurență. Exercițiile urcă de la ușor la greu, iar răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — integrarea prin părți, clasa a 12-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. \(C\) notează o constantă reală. Formula: \(\int f\,g'\,dx=f\,g-\int f'\,g\,dx\).

I. Nivel ușor

  1. Calculează \(\int x\,e^x\,dx\).
  2. Calculează \(\int x\cos x\,dx\).
  3. Calculează \(\int x\sin x\,dx\).
  4. Calculează \(\int\ln x\,dx\), \(x\gt 0\). (Indicație: \(\ln x=x'\cdot\ln x\).)
  5. Calculează \(\int x\ln x\,dx\), \(x\gt 0\).
  6. Completează: \(\int x\,e^{2x}\,dx=\frac{x\,e^{2x}}{2}-\int\ldots\,dx=\ldots\)

II. Nivel mediu

  1. Calculează \(\int_0^1 x\,e^{-x}\,dx\).
  2. Calculează \(\int_1^e x\ln x\,dx\).
  3. Calculează \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cos x\,dx\).
  4. Calculează \(\int x^2e^x\,dx\) (aplică de două ori metoda).
  5. Calculează \(\int_1^e\frac{\ln x}{x^2}\,dx\).
  6. Calculează \(\int(2x+1)\ln x\,dx\), \(x\gt 0\).

III. Nivel greu

  1. Calculează \(\int e^x\sin x\,dx\) (integrare prin părți de două ori, apoi rezolvă ecuația în integrală).
  2. Calculează \(\int_0^{\pi}e^x\cos x\,dx\).
  3. Calculează \(\int_1^e\ln^2x\,dx\).
  4. Calculează \(\int_0^1\operatorname{arctg}x\,dx\). (M1)
  5. Calculează \(\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx\). (M1)
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \((x-1)e^x+C\) (\(f=x\), \(g'=e^x\))
  2. \(x\sin x+\cos x+C\)
  3. \(-x\cos x+\sin x+C\)
  4. \(x\ln x-x+C\)
  5. \(\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C\) (\(f=\ln x\), \(g'=x\))
  6. \(\frac{x\,e^{2x}}{2}-\int\frac{e^{2x}}{2}\,dx=\frac{x\,e^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}+C\)
  7. \(1-\frac{2}{e}\) (\(\left.-(x+1)e^{-x}\right|_0^1\))
  8. \(\frac{e^2+1}{4}\)
  9. \(\frac{\pi}{2}-1\) (\(\left.(x\sin x+\cos x)\right|_0^{\pi/2}\))
  10. \(\left(x^2-2x+2\right)e^x+C\)
  11. \(1-\frac{2}{e}\) (primitivă: \(-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}\))
  12. \(\left(x^2+x\right)\ln x-\frac{x^2}{2}-x+C\)
  13. \(\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C\)
  14. \(-\frac{e^{\pi}+1}{2}\) (primitivă: \(\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}\))
  15. \(e-2\) (primitivă: \(x\ln^2x-2x\ln x+2x\))
  16. \(\frac{\pi}{4}-\frac{\ln 2}{2}\) (\(\left.x\operatorname{arctg}x\right|_0^1-\int_0^1\frac{x}{x^2+1}\,dx\))
  17. \(\frac{1}{4}\) (\(\frac{\ln 2}{2}-\frac{1}{2}\int_0^1\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx\))

Teorie: Integrarea prin părți — formula și exemple · Integrale definite — Leibniz–Newton · Calculator integrale pas cu pas · Formule clasa a 12-a · Alte fișe: toate fișele de lucru