Fișă de lucru schimbarea de variabilă clasa a 12-a — 18 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 18 exerciții pentru clasa a 12-a despre metoda schimbării de variabilă (substituția): forme \(\int f(u(x))\,u'(x)\,dx\), integrale cu \(e^{x^2}\), \(\ln x\), funcții trigonometrice și radicali. Răspunsurile sunt la final, pe pagină separată la printare.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — schimbarea de variabilă, clasa a 12-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. \(C\) notează o constantă reală. La integralele definite schimbă și limitele de integrare.

I. Nivel ușor

  1. Calculează \(\int 2x\left(x^2+1\right)^3dx\).
  2. Calculează \(\int(2x+1)^5\,dx\).
  3. Calculează \(\int 2x\,e^{x^2}\,dx\).
  4. Calculează \(\int\frac{\ln x}{x}\,dx\), \(x\gt 0\).
  5. Calculează \(\int\sin^2x\cos x\,dx\).
  6. Completează, cu substituția \(t=3x-1\): \(\int e^{3x-1}\,dx=\int e^t\cdot\ldots\,dt=\ldots\)

II. Nivel mediu

  1. Calculează \(\int_0^1\frac{x}{\left(x^2+1\right)^2}\,dx\).
  2. Calculează \(\int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx\).
  3. Calculează \(\int_1^e\frac{\ln^2x}{x}\,dx\).
  4. Calculează \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos^2x\,dx\).
  5. Calculează \(\int_0^1 x\sqrt{x^2+1}\,dx\).
  6. Calculează \(\int_0^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{tg}x\,dx\).

III. Nivel greu

  1. Calculează \(\int_e^{e^2}\frac{1}{x\ln x}\,dx\).
  2. Calculează \(\int_0^1\frac{e^x}{e^x+1}\,dx\).
  3. Calculează \(\int_0^1\frac{x}{x^4+1}\,dx\).
  4. Calculează \(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{1+\cos^2x}\,dx\).
  5. Calculează \(\int_0^3\frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx\), folosind substituția \(t=\sqrt{x+1}\). (M1)
  6. Folosind substituția \(x=1-t\), arată că \(\int_0^1 x(1-x)^{10}dx=\int_0^1(1-x)x^{10}dx\) și calculează integrala. (M1)
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(\frac{\left(x^2+1\right)^4}{4}+C\) (\(t=x^2+1\))
  2. \(\frac{(2x+1)^6}{12}+C\)
  3. \(e^{x^2}+C\)
  4. \(\frac{\ln^2x}{2}+C\) (\(t=\ln x\))
  5. \(\frac{\sin^3x}{3}+C\) (\(t=\sin x\))
  6. \(\int e^t\cdot\frac{1}{3}\,dt=\frac{e^{3x-1}}{3}+C\)
  7. \(\frac{1}{4}\) (\(\left.-\frac{1}{2\left(x^2+1\right)}\right|_0^1\))
  8. \(\frac{e-1}{2}\)
  9. \(\frac{1}{3}\) (\(t=\ln x\in[0,1]\))
  10. \(\frac{1}{3}\) (\(t=\cos x\))
  11. \(\frac{2\sqrt{2}-1}{3}\)
  12. \(\frac{\ln 2}{2}\) (\(\left.-\ln\cos x\right|_0^{\pi/4}\))
  13. \(\ln 2\) (\(\left.\ln(\ln x)\right|_e^{e^2}=\ln 2-\ln 1\))
  14. \(\ln\frac{e+1}{2}\)
  15. \(\frac{\pi}{8}\) (\(t=x^2\): \(\frac{1}{2}\int_0^1\frac{dt}{t^2+1}\))
  16. \(\frac{\pi}{4}\) (\(t=\cos x\): \(\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}\))
  17. \(\frac{8}{3}\) (\(2\int_1^2\left(t^2-1\right)dt\))
  18. \(\frac{1}{11}-\frac{1}{12}=\frac{1}{132}\)

Teorie: Schimbarea de variabilă — metoda și exemple · Tabelul integralelor nedefinite · Calculator integrale pas cu pas · Formule clasa a 12-a · Alte fișe: toate fișele de lucru