Dreapta y = l este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul lui f dacă:

lim _x → +∞ f(x) = l, cu l finit

Asimptota orizontală — formula și ecuația y = l + exemple

Q: Care este formula asimptotei orizontale?

y = l, unde l=_x→±∞ f(x) este un număr finit. Pentru funcții raționale cu grade egale, l este raportul coeficienților dominanți; dacă gradul numărătorului este mai mic, l=0.

Q: Cum scriu ecuația asimptotei orizontale?

Calculezi limita la ±∞; dacă obții numărul l, scrii „dreapta y = l este asimptotă orizontală la +∞ (respectiv la -∞)”.

Q: Poate o funcție să aibă două asimptote orizontale?

Da, cel mult două: una la +∞ și una la -∞. De exemplu f(x)=arctg x are asimptotele y=(π)/(2) și y=-(π)/(2). Mai mult de două nu se poate.

Formule

Asimptota orizontală a unei funcții $f$ este dreapta $y = l$ , unde $l = lim_{x \to \pm \infty} f (x)$ este un număr finit. Practic: calculezi limita funcției la $+ \infty$ și la $- \infty$ ; dacă rezultatul este un număr real $l$ , ecuația asimptotei orizontale este $y = l$ . Dacă limita este $\pm \infty$ sau nu există, funcția nu are asimptotă orizontală pe ramura respectivă și poate avea, în schimb, asimptotă oblică.

Definiție și formulă

Fie $f : D \to R$ . Dacă $+ \infty$ este punct de acumulare pentru $D$ și

$lim_{x \to + \infty} f (x) = l \in R,$

atunci dreapta $y = l$ este asimptotă orizontală la $+ \infty$ (spre dreapta).

Analog, dacă $- \infty$ este punct de acumulare pentru $D$ și

$lim_{x \to - \infty} f (x) = l^{'} \in R,$

atunci dreapta $y = l^{'}$ este asimptotă orizontală la $- \infty$ (spre stânga).

Intuitiv: $f (x)$ se apropie oricât de mult de $l$ dacă $x$ este suficient de mare (respectiv suficient de mic). Graficul „se lipește” de dreapta $y = l$ , dar nu este obligat să nu o intersecteze.

Ecuația asimptotei orizontale

Ecuația este întotdeauna de forma $y = l$ : o dreaptă paralelă cu axa $O x$ , care nu conține $x$ . De exemplu, pentru $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ avem $lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 2$ , deci ecuația asimptotei orizontale este $y = 2$ . La Bacalaureat scrie concluzia explicit: „dreapta $y = 2$ este asimptotă orizontală la $+ \infty$ și la $- \infty$ ”.

Când există și când nu există

Există dacă limita la $\pm \infty$ este finită. Domeniul trebuie să fie nemărginit în direcția respectivă: o funcție definită pe $[0, 1]$ nu poate avea asimptote orizontale.
Funcții raționale $f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ : există asimptotă orizontală doar dacă $grad P \leq grad Q$ . La grade egale, $l$ este raportul coeficienților dominanți; dacă $grad P < grad Q$ , atunci $l = 0$ (asimptota este axa $O x$ ). Dacă $grad P = grad Q + 1$ , nu există asimptotă orizontală, ci una oblică.
Funcții exponențiale: $f (x) = e^{x}$ are asimptota orizontală $y = 0$ doar la $- \infty$ ; $f (x) = a^{x}$ cu $0 < a < 1$ are $y = 0$ doar la $+ \infty$ .
Poate fi diferită la $+ \infty$ și la $- \infty$ : $f (x) = arctg x$ are $y = \frac{π}{2}$ la $+ \infty$ și $y = - \frac{π}{2}$ la $- \infty$ . O funcție are cel mult două asimptote orizontale.
Nu există dacă limita este infinită ( $x^{2}$ , $\ln x$ , $e^{x}$ la $+ \infty$ ) sau nu există ( $\sin x$ , $\cos x$ ).

Algoritm în 3 pași

Verifică domeniul. Stabilește dacă $+ \infty$ și/sau $- \infty$ sunt puncte de acumulare pentru $D$ (domeniul este nemărginit).
Calculează limitele $lim_{x \to + \infty} f (x)$ și $lim_{x \to - \infty} f (x)$ , folosind limitele de funcții; la funcții raționale dai factor comun forțat $x$ la puterea maximă.
Scrie concluzia. Dacă limita este $l \in R$ , dreapta $y = l$ este asimptotă orizontală pe ramura respectivă; dacă limita este $\pm \infty$ , treci la căutarea asimptotei oblice.

Asimptotă orizontală vs. asimptotă oblică

Pe aceeași ramură ( $+ \infty$ sau $- \infty$ ) o funcție nu poate avea simultan asimptotă orizontală și asimptotă oblică: asimptota orizontală este cazul particular $m = 0$ al dreptei $y = m x + n$ . De aceea cauți întâi asimptota orizontală; dacă limita este infinită, calculezi $m = lim \frac{f (x)}{x}$ și $n = lim (f (x) - m x)$ pentru asimptota oblică. Existența asimptotelor verticale este independentă de cele orizontale. Toate tipurile sunt rezumate în pagina Asimptote.

Greșeli frecvente

Scrii ecuația $x = l$ în loc de $y = l$ . Asimptota orizontală este o dreaptă orizontală, deci ecuația conține doar $y$ .
Calculezi limita doar la $+ \infty$ și uiți de $- \infty$ . Rezultatele pot diferi ( $arctg x$ , $e^{x}$ ).
Crezi că graficul nu poate atinge asimptota. Fals: $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ intersectează asimptota $y = 0$ de o infinitate de ori.
Declari asimptotă orizontală când limita este infinită: pentru $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x + 1}$ limita la $\pm \infty$ este $\pm \infty$ , deci nu există asimptotă orizontală, ci oblică.

Întrebări frecvente

Care este formula asimptotei orizontale? $y = l$ , unde $l = lim_{x \to \pm \infty} f (x)$ este un număr finit. Pentru funcții raționale cu grade egale, $l$ este raportul coeficienților dominanți; dacă gradul numărătorului este mai mic, $l = 0$ .

Cum scriu ecuația asimptotei orizontale? Calculezi limita la $\pm \infty$ ; dacă obții numărul $l$ , scrii „dreapta $y = l$ este asimptotă orizontală la $+ \infty$ (respectiv la $- \infty$ )”.

Poate o funcție să aibă două asimptote orizontale? Da, cel mult două: una la $+ \infty$ și una la $- \infty$ . De exemplu $f (x) = arctg x$ are asimptotele $y = \frac{π}{2}$ și $y = - \frac{π}{2}$ . Mai mult de două nu se poate.

Verifică-ți rezolvarea: calculator asimptote — verticale, orizontale și oblice, pas cu pas.

Verifică-te: 3 întrebări

Dreapta $y = l$ este asimptotă orizontală spre $+ \infty$ la graficul lui $f$ dacă:

$lim_{x \to + \infty} f (x) = l$ , cu $l$ finit
$lim_{x \to l} f (x)$ $= \infty$
$lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = l$

Asimptota orizontală spre $+ \infty$ a funcției $f (x) = \frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$ este:

$y = 0$
$y = 3$
$x = 2$

Funcția $f (x) = e^{x}$ are asimptota orizontală $y = 0$ :

spre $- \infty$ și spre $+ \infty$
numai spre $+ \infty$
numai spre $- \infty$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — funcție rațională cu grade egale

$f : R ∖ {3} \to R$ , $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ .

Rezolvare. Dăm factor comun forțat $x$ : $lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x + 1}{x - 3} = lim_{x \to \pm \infty} \frac{x (2 + \frac{1}{x})}{x (1 - \frac{3}{x})} = \frac{2}{1} = 2$ . Deci dreapta $y = 2$ este asimptotă orizontală la $+ \infty$ și la $- \infty$ . Rapid: gradele sunt egale, iar raportul coeficienților dominanți este $2 / 1$ .

Exemplul 2 — gradul numărătorului mai mic

$f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

Rezolvare. $lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^{2} + 1} = lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^{2} (1 + \frac{1}{x^{2}})} =$ $lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x (1 + \frac{1}{x^{2}})} = 0$ . Asimptota orizontală este $y = 0$ (axa $O x$ ) la ambele ramuri. Graficul intersectează asimptota în $O (0, 0)$ — este permis.

Exemplul 3 — asimptotă doar pe o ramură

$f : R \to R$ , $f (x) = e^{x}$ .

Rezolvare. $lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ , deci $y = 0$ este asimptotă orizontală la $- \infty$ . La $+ \infty$ : $lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ , nu există asimptotă orizontală; cum $lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x} = + \infty$ , nu există nici asimptotă oblică.

Exemplul 4 — nu are asimptotă orizontală, are oblică

$f : R ∖ {- 1} \to R$ , $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x + 1}$ .

Rezolvare. Gradul numărătorului (2) este mai mare decât cel al numitorului (1): $lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 1}{x + 1} = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} (1 + \frac{1}{x^{2}})}{x (1 + \frac{1}{x})} = + \infty$ , iar la $- \infty$ limita este $- \infty$ . Nu există asimptotă orizontală. Căutăm asimptota oblică: $m = lim_{x \to \pm \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + x} = 1$ , $n = lim_{x \to \pm \infty} (\frac{x^{2} + 1}{x + 1} - x) =$ $lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 - x}{x + 1} = - 1$ . Asimptota oblică este $y = x - 1$ .

Exerciții

Exerciții propuse

Determinați asimptotele orizontale ale funcțiilor (unde nu există, precizați dacă există asimptotă oblică):

$f (x) = \frac{3 x - 2}{x + 5}$
$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 4}$
$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x^{2} + 3}$
$f (x) = arctg x$
$f (x) = 2^{- x} + 1$
$f (x) = \frac{x^{2} + x}{x - 1}$

Răspunsuri

$y = 3$ la $\pm \infty$ (grade egale, $3 / 1$ ).
$y = 0$ la $\pm \infty$ (gradul numărătorului este mai mic).
$y = \frac{1}{2}$ la $\pm \infty$ .
$y = \frac{π}{2}$ la $+ \infty$ și $y = - \frac{π}{2}$ la $- \infty$ .
$y = 1$ doar la $+ \infty$ ( $2^{- x} \to 0$ ); la $- \infty$ limita este $+ \infty$ .
Nu are asimptotă orizontală (limita este $\pm \infty$ ); are asimptota oblică $y = x + 2$ , deoarece $f (x) = x + 2 + \frac{2}{x - 1}$ .

Vezi și asimptotele verticale, asimptotele oblice și limitele de funcții.

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Asimptota orizontală — formula, ecuația y = l, când există, exemple