Gabriel Cramer — biografie și regula lui Cramer

Gabriel Cramer (1704–1752) a fost un matematician elvețian din Geneva, cunoscut în toată lumea pentru regula lui Cramer, metoda de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare cu ajutorul determinanților. La clasa a XI-a, regula lui Cramer este una dintre primele aplicații ale determinanților.

Viața

Cramer s-a născut la Geneva în 1704, fiul unui medic. A fost un elev precoce: a obținut doctoratul la 18 ani, cu o lucrare despre sunet, iar la 20 de ani a ocupat, împreună cu Giovanni Ludovico Calandrini, catedra de matematică a Academiei din Geneva. Cei doi au împărțit postul și salariul, predând pe rând.

Între 1727 și 1729 a călătorit prin Europa și i-a cunoscut pe marii matematicieni ai vremii, printre care Johann Bernoulli, Euler, Halley și de Moivre. Mai târziu a editat operele complete ale fraților Jacob și Johann Bernoulli. A lucrat enorm, iar sănătatea i s-a șubrezit; a murit în 1752, la Bagnols-sur-Cèze, în sudul Franței, în timpul unei călătorii de odihnă.

Contribuții în matematică

Regula lui Cramer. În cartea Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (1750), Cramer a vrut să determine curba care trece prin anumite puncte date, ceea ce l-a condus la sisteme de ecuații liniare. În anexa cărții a dat o regulă generală pentru rezolvarea lor. Pentru un sistem cu două ecuații și două necunoscute,

\[ \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases} \qquad \Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \ne 0, \]

soluția unică este:

\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \]

unde \( \Delta_x \) și \( \Delta_y \) se obțin înlocuind în \( \Delta \) coloana coeficienților necunoscutei respective cu coloana termenilor liberi. Regula funcționează la fel pentru n ecuații cu n necunoscute, cu condiția ca determinantul sistemului să fie nenul. Un sistem cu \( \Delta \ne 0 \) se numește sistem Cramer.

Determinanții înainte de a avea un nume. Cramer nu folosea cuvântul „determinant” și nici notația cu bare verticale, introduse mai târziu (termenul în sensul actual a fost impus de Cauchy, iar barele verticale de Cayley). El descria aceste expresii ca sume de produse cu semne stabilite după numărul de inversiuni ale unei permutări — exact definiția pe care o folosim azi. Idei asemănătoare apăruseră deja la Leibniz (1693) și la japonezul Seki Takakazu, dar lucrarea lui Cramer a făcut metoda cunoscută în toată Europa.

Paradoxul lui Cramer. Două curbe de gradul 3 se intersectează în 9 puncte, dar o curbă de gradul 3 este determinată, în general, de doar 9 puncte. Cramer a analizat această aparentă contradicție, explicată mai târziu prin faptul că ecuațiile obținute nu sunt independente.

Probabilități. Cramer a propus și o soluție la paradoxul de la Sankt Petersburg, o problemă celebră despre jocuri de noroc, folosind ideea de utilitate a banilor.

Unde îl întâlnești la școală

Vezi și: Carl Friedrich Gauss, a cărui metodă de eliminare este alternativa la regula lui Cramer, Leibniz și Leonhard Euler.

Curiozități

  • Regula lui Cramer este elegantă, dar lentă pentru sisteme mari: pentru 20 de necunoscute ar trebui calculați 21 de determinanți uriași, de aceea calculatoarele folosesc metoda lui Gauss.
  • Cramer era apreciat și în afara matematicii: a fost membru în consiliul orașului Geneva și a scris despre istorie, filozofie și drept.
  • A fost membru al academiilor din Londra, Berlin, Lyon și Bologna.

Întrebări frecvente

Când se poate aplica regula lui Cramer? Doar pentru sisteme cu același număr de ecuații și necunoscute al căror determinant este diferit de zero; atunci sistemul are soluție unică.

Ce se întâmplă dacă determinantul sistemului este zero? Regula lui Cramer nu se mai poate aplica; sistemul este fie incompatibil, fie compatibil nedeterminat și se studiază cu ajutorul rangului sau prin metoda lui Gauss.

A inventat Cramer determinanții? Nu în totalitate; expresii de acest tip apăruseră la Leibniz și la Seki Takakazu, dar Cramer a publicat primul regula generală pentru n ecuații, iar numele „determinant” a apărut mai târziu.

Vezi și: René Descartes · toți matematicienii


Sursa: wikipedia.org