Fișă de lucru matrice și determinanți clasa a 11-a — 18 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 18 exerciții pentru clasa a 11-a despre matrice și determinanți: operații, transpusă, determinanți de ordin 2 și 3, matrice inversă, regula lui Cramer și aria unui triunghi. Exercițiile urcă de la ușor la greu, iar răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — matrice și determinanți, clasa a 11-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. În exercițiile 1–5, 8, 9 și 15 se consideră matricele \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) și \(B=\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}\).

I. Nivel ușor

  1. Calculează \(A+B\) și \(2A-B\).
  2. Scrie transpusa matricei \(A\).
  3. Calculează \(\det A\) și \(\det B\).
  4. Calculează produsul \(A\cdot B\).
  5. Calculează \(B\cdot A\) și compară cu \(A\cdot B\).
  6. Calculează \(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&5\end{vmatrix}\).

II. Nivel mediu

  1. Calculează, cu regula lui Sarrus, \(\begin{vmatrix}1&2&0\\3&1&2\\0&1&1\end{vmatrix}\).
  2. Calculează \(A^2\).
  3. Calculează inversa matricei \(A\).
  4. Determină \(x\in\mathbb{R}\) pentru care \(\begin{vmatrix}x&2\\3&x\end{vmatrix}=10\).
  5. Determină valorile reale ale lui \(m\) pentru care matricea \(M=\begin{pmatrix}m&1\\4&m\end{pmatrix}\) nu este inversabilă.
  6. Rezolvă ecuația \(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}=0\).

III. Nivel greu

  1. Fie \(C=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\). Calculează \(C^2\), \(C^3\) și deduce \(C^{10}\).
  2. Rezolvă cu regula lui Cramer sistemul \(\begin{cases}x+2y=5\\3x-y=1\end{cases}\).
  3. Verifică egalitatea \(A^2-5A-2I_2=O_2\).
  4. Calculează, cu ajutorul unui determinant, aria triunghiului cu vârfurile \(A(1,1)\), \(B(4,2)\), \(C(2,5)\).
  5. Determină \(m\in\mathbb{R}\) pentru care punctele \(A(1,2)\), \(B(3,6)\) și \(C(m,10)\) sunt coliniare.
  6. Calculează inversa matricei \(D=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(A+B=\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}\), \(2A-B=\begin{pmatrix}0&4\\5&9\end{pmatrix}\)
  2. \(A^T=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\)
  3. \(\det A=-2\), \(\det B=-2\)
  4. \(\begin{pmatrix}4&-2\\10&-4\end{pmatrix}\)
  5. \(B\cdot A=\begin{pmatrix}2&4\\-2&-2\end{pmatrix}\ne A\cdot B\) (înmulțirea matricelor nu e comutativă)
  6. 5 (matrice triunghiulară: \(1\cdot 1\cdot 5\))
  7. \(-7\) (\(1+0+0-0-2-6\))
  8. \(\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}\)
  9. \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)
  10. \(x\in\{-4,4\}\) (\(x^2-6=10\))
  11. \(m\in\{-2,2\}\) (\(\det M=m^2-4=0\))
  12. \(x=1\) (determinantul este \((x-1)^2\))
  13. \(C^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\), \(C^3=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\), \(C^{10}=\begin{pmatrix}1&10\\0&1\end{pmatrix}\)
  14. \(\Delta=-7\), \(\Delta_x=-7\), \(\Delta_y=-14\); \(x=1\), \(y=2\)
  15. \(A^2-5A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2I_2\), deci egalitatea este adevărată
  16. \(\Delta=11\), aria \(=\frac{11}{2}\)
  17. \(m=5\)
  18. \(D^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\) (\(\det D=1\))

Teorie: Determinanți — teorie · Matrice inversabilă · Calculator determinant și matrice inversă · Alte fișe: toate fișele de lucru