Leonhard Euler — biografie și contribuții în matematică

Leonhard Euler (1707–1783) a fost un matematician elvețian care a scris mai mult decât oricine altcineva în istoria matematicii și a dat forma modernă unei mari părți din ce învățăm azi la liceu. Notațiile \( e \), \( i \), \( f(x) \) și \( \Sigma \), formula lui Euler pentru numere complexe și relația lui Euler pentru poliedre poartă amprenta lui.

Viața

Euler s-a născut la Basel, în Elveția, în 1707, ca fiu de pastor. Tatăl său voia să-l facă teolog, dar talentul băiatului a fost observat de Johann Bernoulli, unul dintre cei mai importanți matematicieni ai epocii, care i-a dat îndrumare în particular. La 20 de ani, Euler a plecat la Academia de Științe din Sankt Petersburg, unde a lucrat până în 1741. A urmat o perioadă de 25 de ani la Academia din Berlin, la invitația regelui Frederic al II-lea al Prusiei, apoi s-a întors definitiv la Sankt Petersburg în 1766.

Încă din tinerețe și-a pierdut vederea la un ochi, iar după 1771 a orbit aproape complet. Cu toate acestea, productivitatea lui nu a scăzut: își dicta lucrările unor asistenți și făcea calculele lungi în minte. A murit la Sankt Petersburg în 1783. Operele sale complete numără peste 70 de volume, iar ediția lor nu s-a încheiat nici astăzi.

Contribuții în matematică

Numărul e și funcția exponențială. Euler a folosit primul litera \( e \) pentru baza logaritmilor naturali și a arătat că acest număr se obține ca limită:

\[ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828 \]

Tot el a definit logaritmul ca operația inversă ridicării la putere, adică exact felul în care îl definim azi la clasa a X-a.

Formula lui Euler. În lucrarea Introductio in analysin infinitorum (1748), Euler a legat funcția exponențială de funcțiile trigonometrice, folosind numere complexe:

\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x \]

Pentru \( x = \pi \) se obține relația \( e^{i\pi} + 1 = 0 \), care adună într-o singură egalitate cinci dintre cele mai importante numere ale matematicii. Această formulă explică de ce forma trigonometrică a unui număr complex se înmulțește atât de simplu: modulele se înmulțesc, iar argumentele se adună.

Notații. O mare parte din „limbajul” matematicii vine de la Euler: \( f(x) \) pentru funcții, \( \Sigma \) pentru sume, \( i \) pentru unitatea imaginară (\( i^2 = -1 \)); tot el a impus folosirea literei \( \pi \) pentru raportul dintre circumferință și diametru.

Problema de la Basel. Matematicienii căutau de zeci de ani suma inverselor pătratelor numerelor naturale. Euler a găsit-o în jurul anului 1735:

\[ 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6} \]

Grafuri și poliedre. Analizând problema celor șapte poduri din Königsberg (1736), Euler a demonstrat că nu se poate face o plimbare care să treacă o singură dată pe fiecare pod — este considerat momentul de naștere al teoriei grafurilor. Pentru orice poliedru convex a observat relația \( V - M + F = 2 \) (vârfuri, muchii, fețe), pe care o poți verifica pe cub: \( 8 - 12 + 6 = 2 \).

Geometria triunghiului. Dreapta lui Euler trece prin ortocentrul, centrul de greutate și centrul cercului circumscris al oricărui triunghi.

Unde îl întâlnești la școală

• La clasa a X-a, la numere complexe: unitatea imaginară \( i \) și forma trigonometrică.
• La funcția exponențială și la ecuații exponențiale, unde apare baza \( e \).
• La logaritmi: logaritmul natural \( \ln x = \log_e x \).
• La clasa a XI-a, la limite remarcabile (limita care definește \( e \)) și la derivate: \( (e^x)' = e^x \).
• Poți verifica limitele cu \( e \) în calculatorul de limite.

Despre alți matematicieni legați de opera lui: Leibniz, ale cărui idei de calcul diferențial le-a dezvoltat, Joseph-Louis Lagrange, care i-a urmat la Berlin, și Carl Friedrich Gauss.

Curiozități

• Euler a avut 13 copii, dintre care doar cinci au supraviețuit copilăriei; se spune că lucra adesea cu un copil în brațe.
• Pierre-Simon Laplace le recomanda tinerilor: „Citiți-l pe Euler, el este maestrul nostru al tuturor.”
• Portretul lui a apărut pe bancnota elvețiană de 10 franci.

Întrebări frecvente

De ce se numește e „numărul lui Euler”? Pentru că Euler a fost primul care l-a notat cu litera e, i-a calculat multe zecimale și i-a studiat sistematic proprietățile, deși numărul apăruse anterior în calcule de dobândă compusă.

Ce spune formula lui Euler? Că pentru orice număr real x avem \( e^{ix} = \cos x + i\sin x \); de aici provine forma exponențială a numerelor complexe și identitatea \( e^{i\pi} + 1 = 0 \).

Cum a lucrat Euler după ce a orbit? Și-a dictat lucrările unor asistenți, inclusiv fiilor săi, și făcea calculele în minte; în acești ani a publicat aproape jumătate din opera sa.

Vezi și: Pierre de Fermat, John Napier, Fibonacci · toți matematicienii

Sursa: wikipedia.org