Fișă de lucru derivate clasa a 11-a — 18 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 18 exerciții pentru clasa a 11-a despre derivate: reguli de derivare (sumă, produs, cât), derivarea funcțiilor compuse, derivata cu definiția, derivate laterale și studiul derivabilității într-un punct. Exercițiile urcă de la ușor la greu, iar răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — derivate și derivabilitate, clasa a 11-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Funcțiile sunt considerate pe domeniul lor maxim de definiție, dacă nu se precizează altfel.

I. Nivel ușor

  1. Calculează derivata funcției \(f(x)=x^5-3x^2+7x-2\).
  2. Calculează derivata funcției \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2\sqrt{x}+\frac{1}{x}\).
  3. Calculează derivata funcției \(f(x)=x\,e^x\).
  4. Calculează derivata funcției \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2\ln x\).
  5. Calculează derivata funcției \(f(x)=\sin x\cos x\).
  6. Calculează derivata funcției \(f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x-1}{x+1}\).

II. Nivel mediu

  1. Calculează derivata funcției compuse \(f(x)=(2x+1)^5\).
  2. Calculează derivata funcției \(f(x)=e^{x^2-3x}\).
  3. Calculează derivata funcției \(f(x)=\ln\left(x^2+1\right)\).
  4. Fie \(f(x)=\sqrt{x^2+9}\). Calculează \(f'(x)\) și \(f'(4)\).
  5. Calculează derivata funcției \(f(x)=\sin^2 x+\cos 3x\).
  6. Fie \(f:\mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}\). Calculează \(f'(x)\) și rezolvă ecuația \(f'(x)=0\).
  7. Calculează, folosind definiția, derivata funcției \(f(x)=x^2\) în punctul \(x_0=3\).

III. Nivel greu

  1. Studiază derivabilitatea funcției \(f(x)=|x-2|\) în punctul \(x_0=2\) (calculează derivatele laterale).
  2. Fie \(f(x)=\begin{cases}x^2+1, & x\le 1\\ 2x, & x\gt 1\end{cases}\). Arată că \(f\) este continuă și derivabilă în \(x_0=1\).
  3. Determină numerele reale \(a\) și \(b\) pentru care funcția \(f(x)=\begin{cases}x^2, & x\le 1\\ ax+b, & x\gt 1\end{cases}\) este derivabilă în \(x_0=1\).
  4. Studiază derivabilitatea funcției \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) în \(x_0=0\).
  5. (M1) Calculează derivatele funcțiilor: a) \(f(x)=\operatorname{arctg}\left(x^2\right)\); b) \(g(x)=\arcsin 2x\), \(x\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(f'(x)=5x^4-6x+7\)
  2. \(f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}\)
  3. \(f'(x)=e^x+x\,e^x=(x+1)e^x\)
  4. \(f'(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)\)
  5. \(f'(x)=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x\)
  6. \(f'(x)=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}\)
  7. \(f'(x)=5(2x+1)^4\cdot 2=10(2x+1)^4\)
  8. \(f'(x)=(2x-3)e^{x^2-3x}\)
  9. \(f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}\)
  10. \(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\), \(f'(4)=\frac{4}{5}\)
  11. \(f'(x)=2\sin x\cos x-3\sin 3x\), adică \(f'(x)=\sin 2x-3\sin 3x\)
  12. \(f'(x)=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\); \(x\in\{-1,3\}\)
  13. \(f'(3)=\lim\limits_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim\limits_{x\to 3}(x+3)=6\)
  14. \(f'_s(2)=-1\), \(f'_d(2)=1\); \(f\) nu este derivabilă în 2 (punct unghiular)
  15. \(f(1)=2=\lim\limits_{x\searrow 1}2x\); \(f'_s(1)=2\), \(f'_d(1)=2\), deci \(f'(1)=2\)
  16. \(a=2\), \(b=-1\) (continuitate: \(a+b=1\); derivate laterale egale: \(a=2\))
  17. \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=+\infty\); \(f\) nu este derivabilă în 0 (tangentă verticală)
  18. a) \(f'(x)=\frac{2x}{1+x^4}\); b) \(g'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\)

Teorie: Formule derivate — tabel și reguli de derivare · Calculator derivate · Formule clasa a 11-a · Alte fișe: toate fișele de lucru