Traian Lalescu — biografie și contribuții în matematică

Traian Lalescu (1882–1929) a fost unul dintre primii matematicieni care au scris o carte întreagă despre ecuațiile integrale. Elevii de clasa a XI-a îl cunosc însă mai ales datorită „șirului lui Lalescu”, o problemă de limite care apare frecvent la olimpiade și în culegeri.

Viața

S-a născut la București, la 12 iulie 1882. A urmat liceul la Craiova și la Iași, iar încă din anii de școală a trimis probleme și soluții la Gazeta Matematică, unde a fost remarcat rapid. A studiat la Iași și București, apoi la Paris, unde în 1908 și-a susținut doctoratul la Sorbona cu teza Sur l'équation de Volterra.

A predat la Universitatea din București și la Școala Politehnică. În 1920 a contribuit decisiv la înființarea Școlii Politehnice din Timișoara, al cărei prim rector a fost. A murit la București, la 15 iunie 1929, la doar 46 de ani.

Contribuții în matematică

Ecuațiile integrale

O ecuație obișnuită are ca necunoscută un număr. O ecuație integrală are ca necunoscută o funcție \( \varphi \), care apare sub semnul integralei. Ecuația studiată de Lalescu în teză are forma lui Volterra:

\[ \varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt, \]

unde \( f \) și \( K \) sunt funcții cunoscute, iar \( \lambda \) este un parametru. Asemenea ecuații descriu fenomene în care starea de acum depinde de întreaga „istorie” anterioară (de exemplu, în elasticitate sau în circuite electrice). În 1911 Lalescu a publicat Introducere la teoria ecuațiilor integrale, considerată una dintre primele monografii din lume dedicate acestui subiect, apărută ulterior și în franceză.

Șirul lui Lalescu

În 1900, ca student, Lalescu a propus în Gazeta Matematică problema care l-a făcut celebru printre elevi:

\[ L_n = \sqrt[n+1]{(n+1)!} - \sqrt[n]{n!}, \qquad \lim_{n\to\infty} L_n = \frac{1}{e}. \]

Șirul este interesant pentru că ambii termeni tind la infinit, deci avem o nedeterminare de tipul \( \infty - \infty \). Ideea de rezolvare folosește limita cunoscută

\[ \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \frac{1}{e}, \]

care se obține cu criteriul raportului (Cauchy–d'Alembert) și cu limita fundamentală \( \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e \). Apoi diferența se scrie ca produs între \( \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \) și o expresie care tinde la 1.

Mai concret, se dă factor comun \( \sqrt[n]{n!} \):

\[ L_n = \sqrt[n]{n!}\left(\frac{\sqrt[n+1]{(n+1)!}}{\sqrt[n]{n!}} - 1\right). \]

Raportul din paranteză tinde la 1, deci paranteza tinde la 0, iar factorul din față tinde la infinit. Nedeterminarea \( \infty \cdot 0 \) se rezolvă scriind paranteza cu ajutorul limitei remarcabile \( \lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1 \). Exercițiul este bun pentru recapitulare, pentru că folosește într-o singură problemă radicali, factoriale, criteriul raportului, numărul \( e \) și limitele remarcabile.

Alte domenii

Lalescu a lucrat și asupra ecuațiilor funcționale, seriilor trigonometrice, mecanicii și istoriei matematicii, și a scris o carte despre geometria triunghiului.

Unde îl întâlnești la școală

Vezi și: Gheorghe Țițeica, cofondatorul Gazetei Matematice, și Dimitrie Pompeiu.

Curiozități

  • Universitatea Politehnica Timișoara îl consideră unul dintre fondatorii ei.
  • Concursul național studențesc de matematică „Traian Lalescu” îi poartă numele.
  • Se spune că era un profesor foarte apreciat pentru claritatea și entuziasmul cu care preda.

Întrebări frecvente

Care este limita șirului lui Lalescu? Șirul \( \sqrt[n+1]{(n+1)!} - \sqrt[n]{n!} \) are limita \( 1/e \), aproximativ 0,3679.

Ce sunt ecuațiile integrale studiate de Lalescu? Sunt ecuații în care necunoscuta este o funcție aflată sub semnul integralei; Lalescu a scris în 1911 una dintre primele monografii despre ele.

Ce legătură are Traian Lalescu cu Timișoara? A fost unul dintre inițiatorii Școlii Politehnice din Timișoara și primul ei rector, în 1920.

Vezi și: Augustin-Louis Cauchy, Leonhard Euler · toți matematicienii


Sursa: wikipedia.org