Pierre de Fermat — biografie și contribuții în matematică

Pierre de Fermat (începutul secolului al XVII-lea – 1665) a fost un jurist francez care a făcut matematică doar în timpul liber, dar a pus bazele teoriei moderne a numerelor și a contribuit la nașterea analizei matematice și a probabilităților. La școală îl întâlnești în teorema lui Fermat despre punctele de extrem, iar marea sa teoremă a așteptat o demonstrație peste 350 de ani.

Viața

Fermat s-a născut la Beaumont-de-Lomagne, în sudul Franței, într-o familie înstărită de negustori. Anul nașterii este discutat: multă vreme s-a considerat 1601, după un act de botez, dar unii istorici susțin că acel copil a murit de mic și că matematicianul s-a născut în jurul anului 1607. A studiat dreptul, iar din 1631 a fost consilier la Parlamentul din Toulouse, adică judecător, funcție pe care a ocupat-o toată viața.

Fermat aproape că nu a publicat nimic. Rezultatele lui sunt cunoscute din scrisorile trimise lui Marin Mersenne, lui Blaise Pascal și altor savanți și din notele adunate după moarte de fiul său, Samuel. A murit la Castres, la 12 ianuarie 1665.

Contribuții în matematică

Maxime, minime și teorema lui Fermat

În jurul anului 1636, Fermat a descris o metodă pentru aflarea valorilor maxime și minime: în apropierea unui punct de maxim, valoarea funcției aproape nu se schimbă la o mică modificare a variabilei. Pe aceeași idee a construit și o metodă pentru tangentele la curbe. Conceptul de derivată a fost formalizat mai târziu de Newton și Leibniz, dar rezultatul care decurge din metoda lui îi poartă numele. Teorema lui Fermat: dacă \( f \) este derivabilă într-un punct de extrem \( c \) aflat în interiorul unui interval, atunci

\[ f'(c) = 0. \]

De exemplu, \( f(x) = x^2 - 4x \) are un minim în \( x = 2 \), iar \( f'(x) = 2x - 4 \) se anulează exact acolo.

Geometria analitică

Independent de Descartes, Fermat a arătat într-un manuscris care circula din jurul anului 1636 că ecuațiile de gradul 1 în două variabile reprezintă drepte, iar cele de gradul 2 reprezintă conice (cerc, elipsă, parabolă, hiperbolă).

Teoria numerelor

Fermat a citit cu creionul în mână Aritmetica lui Diofant și a descoperit proprietăți profunde ale numerelor întregi. Mica teoremă a lui Fermat (1640): dacă \( p \) este număr prim și \( p \) nu divide \( a \), atunci

\[ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}, \]

adică \( p \) divide \( a^{p-1} - 1 \). Exemplu: pentru \( p = 7 \) și \( a = 2 \), \( 2^6 - 1 = 63 = 7 \cdot 9 \). A mai enunțat că orice număr prim de forma \( 4k + 1 \) se scrie ca sumă de două pătrate (\( 5 = 1 + 4 \), \( 13 = 4 + 9 \)) și a crezut că toate numerele \( 2^{2^n} + 1 \) sunt prime — afirmație infirmată de Euler, care a arătat că \( 2^{32} + 1 \) se divide cu 641.

Cea mai faimoasă este marea teoremă a lui Fermat: ecuația \( x^n + y^n = z^n \) nu are soluții în numere naturale nenule pentru \( n \ge 3 \). Fermat a notat-o pe marginea cărții lui Diofant, adăugând că are o demonstrație minunată, dar marginea este prea îngustă pentru ea. A demonstrat doar cazul \( n = 4 \), prin metoda „coborârii infinite”. Demonstrația completă a fost dată de Andrew Wiles în 1994 și publicată în 1995.

Probabilitățile și optica

În 1654, în corespondența cu Pascal despre împărțirea corectă a mizei unui joc întrerupt, cei doi au pus bazele teoriei probabilităților. În optică, Fermat a formulat principiul timpului minim: lumina urmează drumul parcurs în cel mai scurt timp.

Unde îl întâlnești la școală

Curiozități

  • Fermat este numit adesea „prințul amatorilor”, pentru că matematica nu i-a fost niciodată profesie.
  • Marea teoremă a rezistat aproape 360 de ani și a stimulat dezvoltarea unor ramuri întregi ale algebrei.
  • Fermat și Descartes au avut o dispută aprinsă în jurul metodei tangentelor, purtată prin scrisori.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema lui Fermat din analiză? Dacă o funcție derivabilă are un punct de extrem în interiorul unui interval, atunci derivata ei în acel punct este 0, adică tangenta la grafic este orizontală.

Ce este mica teoremă a lui Fermat? Pentru orice număr prim p și orice număr întreg a nedivizibil cu p, numărul a la puterea p − 1, minus 1, se divide cu p.

Cine a demonstrat marea teoremă a lui Fermat? Matematicianul britanic Andrew Wiles, în 1994, cu o demonstrație publicată în 1995, la peste trei secole și jumătate după ce Fermat o notase.

Vezi și: Leonhard Euler, Michel Rolle, Carl Friedrich Gauss, Joseph-Louis Lagrange · toți matematicienii


Sursa: wikipedia.org