Georg Cantor — biografie și teoria mulțimilor

Georg Cantor (1845–1918) a fost un matematician german, creatorul teoriei mulțimilor, limbajul în care este scrisă astăzi aproape toată matematica. El a demonstrat un fapt surprinzător: există mai multe feluri de infinit, iar mulțimea numerelor reale este „mai mare” decât mulțimea numerelor naturale.

Viața

Cantor s-a născut în 1845 la Sankt Petersburg, în Rusia, unde tatăl său era negustor. Familia s-a mutat în Germania când Georg avea 11 ani. Tatăl dorea ca fiul să devină inginer, dar l-a lăsat în cele din urmă să studieze matematica. Cantor și-a luat doctoratul la Berlin în 1867, sub îndrumarea unor profesori celebri precum Weierstrass și Kronecker.

Din 1869 până la sfârșitul vieții a predat la Universitatea din Halle. Ideile sale despre infinit au fost întâmpinate cu ostilitate de unii matematicieni importanți, în special de fostul său profesor Leopold Kronecker. Cantor a suferit de perioade grele de depresie și a fost internat de mai multe ori în sanatorii. A murit la Halle în 1918, iar recunoașterea deplină a venit mai ales după moartea sa.

Contribuții în matematică

Mulțimi și cardinal. Cantor a definit mulțimea ca o colecție de obiecte bine determinate și distincte. Două mulțimi au același cardinal (același „număr de elemente”) dacă între ele există o funcție bijectivă. Pentru mulțimi finite, aceasta este numărarea obișnuită; pentru mulțimi infinite apar surprize. De exemplu, numerele naturale pare sunt „la fel de multe” ca numerele naturale, pentru că \( n \mapsto 2n \) este o bijecție între \( \mathbb{N} \) și mulțimea numerelor pare.

Mulțimi numărabile. O mulțime care se poate pune în bijecție cu \( \mathbb{N} \) se numește numărabilă, iar cardinalul ei se notează \( \aleph_0 \) (alef zero). Cantor a arătat că și \( \mathbb{Z} \) și chiar \( \mathbb{Q} \) sunt numărabile, deși numerele raționale par mult mai „dese”.

Infinituri diferite. În 1874 a demonstrat că mulțimea numerelor reale nu este numărabilă, iar în 1891 a dat o demonstrație celebră, argumentul diagonal: dacă am presupune că putem pune numerele din \( (0, 1) \) într-o listă, am construi un număr nou schimbând cifra a n-a a celui de-al n-lea număr din listă, iar acest număr nu ar apărea în listă. Deci:

\[ \operatorname{card} \mathbb{N} = \operatorname{card} \mathbb{Q} < \operatorname{card} \mathbb{R} \]

Mulțimea părților. Tot Cantor a demonstrat că pentru orice mulțime \( A \), mulțimea submulțimilor ei, \( \mathcal{P}(A) \), are un cardinal strict mai mare. Pentru mulțimi finite cu n elemente, \( \operatorname{card} \mathcal{P}(A) = 2^n \), rezultat pe care îl folosești și la combinatorică.

Ipoteza continuului. Cantor a presupus că nu există niciun infinit strict între cel al lui \( \mathbb{N} \) și cel al lui \( \mathbb{R} \), dar nu a reușit să demonstreze. În secolul XX, Gödel (1940) și Cohen (1963) au arătat că această afirmație nu poate fi nici demonstrată, nici infirmată cu axiomele obișnuite ale teoriei mulțimilor.

Mulțimea lui Cantor. Pornind de la segmentul [0, 1] și eliminând la nesfârșit treimea din mijloc a fiecărui segment rămas, se obține o mulțime cu „lungime totală” zero, dar cu tot atâtea puncte câte are segmentul — unul dintre primele exemple de fractal.

Unde îl întâlnești la școală

  • Încă din clasa a V-a și apoi la clasa a IX-a, la mulțimi: reuniune, intersecție, diferență, incluziune, cardinal.
  • La funcții: funcțiile injective, surjective și bijective, care stau la baza comparării cardinalelor.
  • La mulțimile de numere \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \) și la combinatorică, prin calculatorul de combinări, aranjamente și permutări.

Vezi și: Carl Friedrich Gauss, care respingea ideea de infinit „actual”, și Augustin-Louis Cauchy.

Curiozități

  • Matematicianul David Hilbert a apărat teoria lui Cantor cu o frază rămasă celebră: „Nimeni nu ne va alunga din paradisul pe care Cantor l-a creat pentru noi.”
  • Cantor a fost unul dintre fondatorii Societății Germane de Matematică (1890) și primul ei președinte.
  • După ce a arătat că punctele unui pătrat pot fi puse în bijecție cu punctele unui segment, i-a scris prietenului său Dedekind: „Văd, dar nu cred.”

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o mulțime este numărabilă? Că elementele ei pot fi puse într-o listă infinită (primul, al doilea, al treilea…), adică există o bijecție între mulțime și numerele naturale; exemple sunt \( \mathbb{N} \), \( \mathbb{Z} \) și \( \mathbb{Q} \).

Există infinituri mai mari decât altele? Da; Cantor a demonstrat că mulțimea numerelor reale are un cardinal strict mai mare decât mulțimea numerelor naturale și că pentru orice mulțime, mulțimea părților ei este strict mai mare.

De ce a fost contestat Cantor? Pentru că lucra cu mulțimi infinite ca obiecte complete, idee pe care mulți matematicieni ai vremii, în special Kronecker, o considerau lipsită de sens; azi teoria lui stă la baza matematicii moderne.

Vezi și: Euclid, Grigore C. Moisil · toți matematicienii


Sursa: wikipedia.org